グリーンの定理と積分定理の一家

縁の一周が、中身の渦の合計になる

前のたんげんで、渦の場 F ＝ (−y, x) を単位円で一周した線積分は 2π だった。一方この場の rot は 2（定数）——単位円の面積 π で積むと 2π。一致！

これがグリーンの定理だ：

\[\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_D \operatorname{rot} \vec{F}\, dx\, dy\]

（∮は「閉じた道を一周」の印。Cは領域Dの縁を反時計回り。）

縁をなぞった量 ＝ 中身に散らばる渦の総和。 なぜか——領域を小さなマス目に刻むと、各マスの縁の小さな一周は rot（そこに置いた水車の回り——前々たんげん）に等しく、隣り合うマスの共有辺では逆向きに2回なぞられて打ち消し合う。生き残るのは外周だけ。内部の相殺、縁の生存——望遠鏡和（A3）の2次元版だ。

例1 ：F ＝ (−y, x)、半径2の円で一周すると？ rot ＝ 2、面積 4π——∮ ＝ 2 × 4π ＝ 8π。線積分を媒介変数でごりごり計算せずに、面積×2で即答できた。

例2（面積の公式） ：F ＝ (−y/2, x/2) は rot ＝ 1。グリーンの定理から——

\[面積 = \frac{1}{2}\oint_C (x\, dy - y\, dx)\]

縁をなぞるだけで面積が測れる。製図用の面積計（プラニメーター）はこの定理の機械化だ。

例3 ：保存場（rot ＝ 0）なら右辺は0——「閉じた道の線積分は0」（前たんげん）がグリーンの定理の特別な場合として再導出された。

一家そろい踏み — すべては「縁＝中身」

同じ型の定理が、次元と役者を変えて並ぶ：

定理	縁	中身
微積分学の基本定理（A6）	端点の差 F(b) − F(a)	∫F′dx
グリーンの定理	閉曲線の線積分	∬rot dxdy
発散定理（ガウス）	閉曲面の流束	∭div dV
ストークスの定理	空間の閉曲線の線積分	張った曲面の∬rot・n dS

発散定理は前たんげんの伏線回収だ：単位球面の流束 4π ＝ div(x,y,z) ＝ 3 × 体積 (4/3)π ✓

「縁の情報と中身の情報は、微分ひとつ分だけずれて等しい」——1変数の基本定理から始まった一本の思想が、次元を超えて貫通している。電磁気学のマクスウェル方程式が「微分形」と「積分形」の2つの顔を持つのは、まさにこの定理たちで往復できるからだ。

よくあるまちがい

その1：向きの取りちがえ。 グリーンの定理の縁は反時計回り（領域を左手に見る向き）。逆回りなら符号が反転する。

その2：穴のある領域にそのまま適用。 ドーナツ型の領域では外周と内周（逆向き）の両方が縁。定理の適用条件（単連結かどうか）を確認する癖を——rot ＝ 0 でも穴のまわりの一周が0にならない例（渦糸）が実在する。

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