線積分 — 道に沿って積む

仕事 ＝ 力と歩みの内積の積み上げ

力の場 F の中を、曲線Cに沿って点が動く。物理の仕事は「力 × 進んだ距離」——ただし進む向きの成分だけが効く（真横に押しても仕事はゼロ）。各一歩 dr→ での仕事は内積 F・dr→（G5の内積、ここでも主役）。積み上げて——

\[W = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\]

線積分という。計算は、経路を媒介変数表示（A5！）して1変数に戻すだけだ。

例1 ：F ＝ (y, x) の中を、直線 r(t) ＝ (t, t)（0 ≦ t ≦ 1）で進む仕事は？

dr/dt ＝ (1, 1)。F(r(t)) ＝ (t, t)。内積 ＝ t ＋ t ＝ 2t。

\[W = \int_0^1 2t\, dt = 1\]

例2 ：同じ F で、別の道——放物線 r(t) ＝ (t, t²)（0 ≦ t ≦ 1）ではどうか。

dr/dt ＝ (1, 2t)。F ＝ (t², t)。内積 ＝ t² ＋ 2t² ＝ 3t²。W ＝ ∫₀¹3t² dt ＝ 1。

同じ値になった！ 偶然ではない——F ＝ (y, x) は f ＝ xy の勾配場（∇f ＝ (y, x) ✓）だからだ。

保存場 — 道によらず、端点で決まる

勾配場 F ＝ ∇f の線積分には、微積分学の基本定理（A6）の曲線版が成り立つ：

\[\int_C \nabla f \cdot d\vec{r} = f(終点) - f(始点)\]

途中の道はどうでもいい。例1・2なら f ＝ xy で f(1,1) − f(0,0) ＝ 1 ✓ 一撃だ。

だから勾配場（＝保存力。rot ＝ 0 の場——前たんげん）では：

• 線積分は経路によらない
• 閉じた道（出発点に戻る）なら線積分は0（f(P) − f(P) ＝ 0）

重力場で山を一周して戻れば、位置エネルギーの収支はゼロ——「保存」力の名の由来だ。

例3 ：渦の場 F ＝ (−y, x)（rot ＝ 2 ≠ 0、保存でない）を単位円 r(t) ＝ (cos t, sin t) で一周すると？

dr/dt ＝ (−sin t, cos t)。F ＝ (−sin t, cos t)。内積 ＝ sin²t ＋ cos²t ＝ 1（相互関係！）。

\[W = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi \neq 0\]

閉じた道なのにゼロでない——渦のある場では、ぐるっと回るだけでエネルギーが出入りする。この「閉じた道の線積分」と「囲む領域の rot」の関係こそ、次のステップのグリーンの定理だ。

よくあるまちがい

その1：内積を忘れて大きさだけ積む。 ∫

F

ds は別物（スカラー場の線積分）。仕事は向きの合う成分だけ——内積の線積分だ。

その2：どんな場でも「端点だけで決まる」と思う。 それは保存場の特権。例3のような渦のある場では経路が効く。まず rot ＝ 0 かを確認。

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