面積分と流束

網を通り抜ける水の量

川に網を張る。1秒間に網を通り抜ける水の量は？ 網の各小片（面積 dS）を通る量は、流れ F のうち面に垂直な成分だけ——面に平行な流れは通り抜けに寄与しない。垂直方向の単位ベクトル（法線 n→）との内積をとって積み上げる：

\[\Phi = \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n}\, dS \qquad （流束、フラックス）\]

線積分が「道に沿う成分」を拾ったように、面積分は「面を貫く成分」を拾う。内積が2度も主役を張る——ベクトル解析は内積の物語だ。

例1 ：一様な流れ F ＝ (0, 0, 3)（真上に速さ3）が、xy平面上の面積5の板を貫く流束は？

法線は真上 n→ ＝ (0, 0, 1)。F・n→ ＝ 3（どこでも一定）。Φ ＝ 3 × 5 ＝ 15。「流速×面積」——素朴な直観と一致 ✓

例2 ：同じ流れで板を斜め45°に傾けると？ F・n→ ＝ 3cos 45° ＝ 3/√2。貫く量は cos の分だけ減る——太陽光が斜めに当たると弱い（季節の理由！）のと同じ幾何学だ。

閉じた面 — 中身の収支を測る

風船のような閉じた面（内外を仕切る面）での流束は、特別な意味を持つ。法線を外向きにとれば——

\[\Phi = 出ていく量 - 入ってくる量 ＝ 中身の正味の湧き出し\]

例3 ：湧き出しの場 F ＝ (x, y, z) が、原点中心・半径1の球面を貫く流束は？

球面上では F は法線とちょうど同じ向き（原点から放射状）で、大きさ

F

＝ 1。よって F・n→ ＝ 1——

\[\Phi = 1 \times (球の表面積) = 4\pi\]

（球の表面積 4πr²——G2の公式がここで登板。）

さて、この 4π を別の方法でも出せる：div F ＝ 3（前たんげん）を球の体積 (4/3)π で積むと 3 × (4/3)π ＝ 4π——一致！ 「面の流束 ＝ 中身の発散の総量」。これは偶然ではなく——次のステップの発散定理そのものだ。

よくあるまちがい

その1：法線の向きを決めずに計算する。 流束の符号は法線の向き（表裏）で反転する。閉曲面では外向きが約束。開いた面では問題文の指定を確認。

その2：面積分と重積分の混同。 重積分（A7）は平らな領域での積み上げ、面積分は曲がった面の上。平らな面なら両者は一致する——面積分は重積分の一般化だ。

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