ベクトル場・発散・回転

各点に矢印を配る

天気図の風向きの矢印たち——場所 (x, y) ごとにベクトルが決まっている。これがベクトル場だ：

\[\vec{F}(x, y) = (F_1(x, y),\ F_2(x, y))\]

例1 ：F ＝ (x, y)——各点で「原点から遠ざかる向き」の矢印。爆発のように湧き出す流れ。

例2 ：F ＝ (−y, x)——各点で位置ベクトルと垂直（内積 ＝ −xy ＋ xy ＝ 0！ G5）。原点のまわりをぐるぐる回る流れだ。

湧き出しと渦——流れの2大個性を、微分で数値化しよう。

発散 div — 湧き出しの量

\[\operatorname{div} \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}\]

意味：その点の小さな箱から、正味どれだけ流れ出しているか。x方向の流れが右で強まっていれば（∂F₁/∂x ＞ 0）箱から出ていく量が入る量を上回る——その総和だ。

例3 ：湧き出しの場 F ＝ (x, y)：div F ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2——たしかに正（湧き出し）✓

回転の場 F ＝ (−y, x)：div F ＝ 0 ＋ 0 ＝ 0——回るだけで湧き出しなし ✓（水のような非圧縮の流れは div ＝ 0 が合言葉。）

回転 rot — 渦の強さ

\[\operatorname{rot} \vec{F} = \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \qquad （平面ではこの1成分）\]

意味：その点に小さな水車を置いたとき、どれだけ回されるか。

例4 ：回転の場 F ＝ (−y, x)：rot F ＝ 1 − (−1) ＝ 2——たしかに回る ✓

湧き出しの場 F ＝ (x, y)：rot F ＝ 0 − 0 ＝ 0——放射状の流れに渦はない ✓

勾配場と保存力

勾配 ∇f（A7）もベクトル場だ——勾配場という。重力場や静電場がこの型で、勾配場には特別な性質がある：

\[\operatorname{rot}(\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 0\]

（偏微分の順序交換——なめらかな関数では∂x∂yと∂y∂xが等しい。）勾配場は渦なし。物理でいう保存力（位置エネルギーを持つ力）の判定条件 rot ＝ 0 の正体がこれだ。逆に「渦なしなら勾配場か？」——単連結な領域ではYES。この逆向きの主張が、次の積分定理の世界で正確になる。

よくあるまちがい

その1：div と rot の式の混同。 div は「x成分をxで、y成分をyで」（同族の対角線）、rot は「たすき掛けの差」。行列式のたすき（L1）を思い出すと混ざらない。

その2：場のベクトルと位置ベクトルの混同。 F(1, 2) ＝ (−2, 1) は「点 (1, 2) に立つ矢印が (−2, 1)」——2種類のベクトルが1文に共存する。どちらの話かを常に確かめよう。

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