たんげんテスト A9-1-2
たんげんテスト：ベクトル場と微分演算子
この ページで まなぶ こと
- ベクトル場・発散・回転をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「線積分と面積分」へ！
「ベクトル場と微分演算子」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
F ＝ (2x, 3y) の div F ＝ ？
かいせつdiv F ＝ ∂(2x)/∂x ＋ ∂(3y)/∂y ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5。「x成分をxで、y成分をyで」微分してたす。
Q2
きほん
F ＝ (−2y, 5x) の rot F ＝ ？
かいせつrot F ＝ ∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y ＝ 5 − (−2) ＝ 7。∂F₁/∂y ＝ −2 を引くので符号が反転する——たすき掛けの差の引き算に注意。
Q3
きほん
div F の直観的な意味は？
かいせつdiv F はその点の小さな箱から正味どれだけ流れ出すか——湧き出しの量を表す。渦の強さは rot、最急上昇の向きは勾配 ∇f の役目だ。
Q4
ふつう
F ＝ (x², y²) の div F を (1, 1) で評価すると？
かいせつdiv F ＝ ∂(x²)/∂x ＋ ∂(y²)/∂y ＝ 2x ＋ 2y。点 (1, 1) では 2 ＋ 2 ＝ 4。
Q5
ふつう
単連結な領域で rot F ＝ 0 の十分なめらかなベクトル場を、物理では何という？
かいせつ単連結な領域では、十分なめらかな F が rot F ＝ 0（渦なし）を満たせば、F はポテンシャルを持つ保存力場になる。勾配場 ∇f は、必要な偏微分が連続なら rot(∇f) ＝ 0 を満たす。ただし、穴のある領域では rot F ＝ 0 だけから大域的なポテンシャルの存在を結論できないことがある。
Q6
チャレンジ
F ＝ (x ＋ y, x − y) の div F ＝ ？
かいせつdiv F ＝ ∂(x ＋ y)/∂x ＋ ∂(x − y)/∂y ＝ 1 ＋ (−1) ＝ 0。湧き出しのない非圧縮の流れだ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！