固有値と固有ベクトル

変換に流されない方向

行列 A ＝ [[3, 1], [0, 2]] でいろんなベクトルを変換してみる。(1, 1) → (4, 2)——向きが変わった。(2, 1) → (7, 2)——これも。

でも (1, 0) → (3, 0)——向きそのまま、3倍。

こういう「変換しても向きを保ち、伸び縮みだけする」ベクトルを固有ベクトル、倍率λを固有値という：

\[A\vec{v} = \lambda\vec{v} \qquad (\vec{v} \neq \vec{0})\]

（v→ ＝ 0 は除外——0はどんなλでも式をみたしてしまい、情報がないから。）

固有ベクトルは変換の「骨組みの方向」だ。回転する地球のなかで自転軸だけが動かないように、変換には固有の軸がある。

固有値の求め方 — 行列式が再登場

Av→ ＝ λv→ を変形すると (A − λE)v→ ＝ 0→。0でないv→がこの方程式をみたすには、行列 A − λE が「つぶれて」いなければならない（つぶれていなければ逆行列があって v→ ＝ 0 に限られてしまう）。つぶれる ⇔ 行列式が0（L1！）——

\[\det(A - \lambda E) = 0\]

これを特性方程式という。固有値さがしが、方程式解きに変わった。

例1 ：A ＝ [[3, 1], [0, 2]]。

\[\det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (3 - \lambda)(2 - \lambda) = 0\]

固有値は λ ＝ 3、2。上三角行列なら対角成分がそのまま固有値だ。

例2 ：A ＝ [[2, 1], [1, 2]]。

det(A − λE) ＝ (2 − λ)² − 1 ＝ λ² − 4λ ＋ 3 ＝ (λ − 1)(λ − 3) ＝ 0——λ ＝ 1、3。二次方程式（N10）が固有値を吐き出す。

固有ベクトルも求めよう。λ ＝ 3 のとき (A − 3E)v→ ＝ 0 は −x ＋ y ＝ 0、つまり v→ ＝ (1, 1) 方向。λ ＝ 1 なら x ＋ y ＝ 0 で (1, −1) 方向。

検算：A(1, 1) ＝ (3, 3) ＝ 3(1, 1) ✓ A(1, −1) ＝ (1, −1) ＝ 1(1, −1) ✓

この行列は「(1, 1) 方向に3倍、(1, −1) 方向はそのまま」の変換だった——固有ベクトルの目で見ると、変換の正体が読める。

例3 ：90°回転 [[0, −1], [1, 0]] の特性方程式は λ² ＋ 1 ＝ 0——実数解なし！ 回転に「向きを変えない実の方向」がないのは当然だ。でも複素数まで広げれば λ ＝ ±i——虚数固有値は回転の合図（i ＝ 90°回転、G6の再演）。代数学の基本定理（N11）のおかげで、複素数の世界なら固有値は必ず見つかる。

よくあるまちがい

その1：v→ ＝ 0 を固有ベクトルに数える。 定義から除外されている。固有「方向」が知りたいのに、0には向きがない。

その2：固有値と固有ベクトルを取り違えて答える。 λは数（倍率）、v→はベクトル（方向）。「固有値は (1, 1)」という答案は型エラーだ。

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