対角化と Aⁿ

固有ベクトルの目線に立つ

前ステップの A ＝ [[2, 1], [1, 2]] は「(1, 1) 方向に3倍、(1, −1) 方向に1倍」だった。固有ベクトルを軸に選び直せば、この変換はただの——

\[D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

軸ごとの伸縮（対角行列）に見えるはずだ。座標の翻訳を担うのが、固有ベクトルを列に並べた行列 P ＝ [[1, 1], [1, −1]]（基底の取りかえ——ベクトル空間のたんげんの言葉！）。関係式は——

\[A = PDP^{-1}\]

「Pで固有ベクトル座標に翻訳 → Dで伸縮 → P⁻¹で戻す」。これを対角化という。n次行列なら、一次独立な固有ベクトルがn本そろえば対角化できる（固有値がすべて異なれば自動的にそろう）。

Aⁿ が一撃で出る

対角化の最大のご利益はこれだ。

\[A^n = (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1}) = PD^nP^{-1}\]

（間の P⁻¹P ＝ E が次々消える——望遠鏡式！）そして対角行列のn乗は対角成分をn乗するだけ：

\[D^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

例1 ：A ＝ [[2, 1], [1, 2]] の A¹⁰ の (1, 1) 成分は？

A¹⁰ ＝ PD¹⁰P⁻¹ を計算すると、(1, 1) 成分は (3¹⁰ ＋ 1)/2 ＝ (59049 ＋ 1)/2 ＝ 29525。行列を10回掛ける苦行が、数のn乗ひとつに化けた。

例2（フィボナッチの正体） ：漸化式 aₙ₊₂ ＝ aₙ₊₁ ＋ aₙ（A3）は行列 [[1, 1], [1, 0]] のくり返しで書ける。この行列の固有値は λ² ＝ λ ＋ 1 の解——黄金比 φ ＝ (1 ＋ √5)/2 とその相棒。フィボナッチ数列の一般項に√5が現れるのは、固有値が無理数だからだ。となり合う項の比が φ に近づくのも、大きい固有値が支配的になるから——くり返しの未来は、最大固有値が決める。

この原理は広い。人口の推移、マルコフ連鎖、Googleのページランク（リンク構造の行列の固有ベクトルがページの重要度！）——「同じ変換のくり返し」の長期挙動は、固有値・固有ベクトルがすべて教えてくれる。

対角化できないことも

[[1, 1], [0, 1]]（せん断）の固有値は1だけ（重解）で、固有ベクトルは (1, 0) 方向の1本しかない——2本そろわず対角化不可能。すべての行列が対角化できるわけではない（できない行列の理論——ジョルダン標準形——は、この先の線形代数で）。ただし次のたんげんで見るとおり、対称行列はいつでも対角化できるという素晴らしい保証がある。

よくあるまちがい

その1：PとDの対応のずれ。 Pの第k列の固有ベクトルと、Dの第k対角成分の固有値は同じペアでなければならない。列の順序を入れかえたら、Dも一緒に入れかえる。

その2：Aⁿ ＝ PⁿDⁿ(P⁻¹)ⁿ と書く。 正しくは PDⁿP⁻¹——PとP⁻¹は端に1回ずつだけ。間で打ち消し合う構造を思い出そう。

れんしゅう

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。

あたらしい もんだいを つくる