内積空間と正規直交基底

長さと角度を公理で持ち込む

ベクトル空間の公理（このチャプターの最初）には、和とスカラー倍しかない——長さも角度もまだ無い。それらの源になるのが内積だ。G5の内積 a₁b₁ ＋ a₂b₂ のふるまいを公理化する：

1. 対称 ：u・v ＝ v・u
2. 線形 ：(u ＋ u′)・v ＝ u・v ＋ u′・v、(cu)・v ＝ c(u・v)
3. 正値 ：v・v ≧ 0、等号は v ＝ 0 のときだけ

この演算を持つベクトル空間を内積空間という。すると——

\[|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} \qquad 直交 \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\]

長さも直交も、内積から製造できる。関数の空間にも内積が入る（f・g ＝ ∫fg dx——積分が内積の役！）ので、「関数どうしが直交する」という言葉が意味を持つ——フーリエ解析への扉だ。

正規直交基底 — 理想の軸

基底のなかでも、互いに直交し、それぞれ長さ1のものを正規直交基底という。R² の {(1, 0), (0, 1)} が代表だが、{(1/√2, 1/√2), (1/√2, −1/√2)} も立派な正規直交基底だ（内積0、長さ1を確かめてみて）。

何がうれしいか。ふつうの基底では、座標を求めるのに連立方程式（L1）を解く必要がある。正規直交基底なら——

\[\vec{v} = (\vec{v} \cdot \vec{e}_1)\,\vec{e}_1 + (\vec{v} \cdot \vec{e}_2)\,\vec{e}_2 + \cdots\]

内積をとるだけで座標が出る。方程式いらず——影を落とす（正射影）だけで成分分解が終わる。

例1 ：v→ ＝ (3, 1) を e₁ ＝ (1/√2, 1/√2)、e₂ ＝ (1/√2, −1/√2) で分解しよう。

v・e₁ ＝ 4/√2 ＝ 2√2、v・e₂ ＝ 2/√2 ＝ √2。よって v→ ＝ 2√2 e₁ ＋ √2 e₂。

検算：長さの2乗で確認。

v

² ＝ 10、係数の2乗和 ＝ 8 ＋ 2 ＝ 10 ✓（ピタゴラスの定理の一般形——正規直交基底では、長さの2乗は座標の2乗和になる。）

任意の基底から正規直交基底を作る機械的な手順（グラム・シュミットの直交化法——1本目を正規化、2本目から1本目への影を引いて正規化、…）もあり、どんな内積空間にも正規直交基底が用意できる。

対称行列の宝石定理

転置しても変わらない行列（aᵢⱼ ＝ aⱼᵢ）を対称行列という。[[2, 1], [1, 2]] がそうだ。対称行列には、線形代数でもっとも美しい定理が成り立つ：

対称行列は、固有値がすべて実数で、固有ベクトルを正規直交基底に選べる（直交対角化できる）。

実際 [[2, 1], [1, 2]] の固有ベクトル (1, 1) と (1, −1) は直交していた（内積0！）。正規化すれば例1の e₁、e₂ そのもの——伏線はすべて回収だ。

データの分散を最大にする軸を探す主成分分析（統計）、振動モードの分解（物理）——「対称な問題は直交する軸に分解できる」というこの定理は、応用数学の背骨になっている。

よくあるまちがい

その1：どんな基底でも「内積で座標」をやってしまう。 内積で座標が取れるのは正規直交基底だけ。斜めの基底では正射影どうしが干渉して、係数がずれる。

その2：「対称行列」と「対角行列」の混同。 対称は aᵢⱼ ＝ aⱼᵢ（鏡対称）、対角は非対角成分が0。対角行列は対称行列の特別な場合だ。

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