たんげんテスト L2-4-2
たんげんテスト：内積空間
この ページで まなぶ こと
- 内積・直交・正規直交基底をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらL2章は完了！ 章テスト、そしてマイルストーンM4へ！
「内積空間」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
(2, 1) と (1, −2) の内積は？
かいせつ内積は成分ごとの積の和。2 × 1 ＋ 1 × (−2) ＝ 2 − 2 ＝ 0。内積が 0 だから、この2つのベクトルは直交している。
Q2
きほん
長さを内積から作る式は？
かいせつ長さは |v| ＝ √(v・v)。v・v ＝ 各成分の2乗の和 だから、平方根をとってはじめて長さになる。v・v そのものは長さの2乗だ。
Q3
きほん
(3, 4) の長さは？
かいせつ|v| ＝ √(v・v) ＝ √(3² ＋ 4²) ＝ √25 ＝ 5。
Q4
ふつう
正規直交基底のご利益は？
かいせつ正規直交基底 e₁, …, eₙ なら、v の第 i 座標は内積 v・eᵢ を計算するだけで求まる。連立方程式を解く必要がないのが最大のご利益だ。
Q5
ふつう
対称行列について正しいのは？
かいせつ対称行列は固有値がすべて実数で、固有ベクトルを正規直交基底に選べる——つまり直交行列 P で P⁻¹AP を対角化できる（直交対角化）。
Q6
チャレンジ
正規直交基底での係数が 3 と 4 のとき |v| ＝ ？
かいせつ正規直交基底では三平方の定理がそのまま使えて、|v|² ＝ 3² ＋ 4² ＝ 25。だから |v| ＝ 5。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！