線形写像と行列

「構造を保つ」写像

ベクトル空間の命は和とスカラー倍。ならば、その構造を壊さない写像が主役になるはずだ。

\[f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v}) \qquad f(c\vec{v}) = c\,f(\vec{v})\]

この2条件をみたす f を線形写像という。「たしてから写しても、写してからたしても同じ」——計算と写像が交換できる。

例1 ：f(x, y) ＝ (2x ＋ y, x − y) は線形（成分が x、y の1次の項だけでできている）。

例2 ：f(x) ＝ x ＋ 1 は線形でない。f(0) ＝ 1 ≠ 0——線形写像は必ず 0 を 0 にうつす（f(0) ＝ f(0・0) ＝ 0・f(0) ＝ 0）。一次関数 y ＝ ax ＋ b（A1）のうち、線形写像なのは b ＝ 0 の正比例だけ。「線形」という言葉の数学的な狭さに注意だ。

例3 ：意外な仲間——微分。(f ＋ g)′ ＝ f′ ＋ g′、(cf)′ ＝ cf′（A4の計算規則！）。微分は「関数の空間から関数の空間への線形写像」だ。線形代数の定理が、解析学の対象にそのまま届く——抽象化の配当がここでも出る。

基底の行き先が、すべてを決める

線形写像の最大の特徴：基底ベクトルの行き先さえ決めれば、全員の行き先が決まる。

v ＝ c₁e₁ ＋ c₂e₂ なら、線形性から f(v) ＝ c₁f(e₁) ＋ c₂f(e₂)——組み立て方が保存されるからだ。

そこで、f(e₁)、f(e₂) を列として並べた行列を作る。例1なら f(1, 0) ＝ (2, 1)、f(0, 1) ＝ (1, −1) だから——

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

すると f(v) は行列の積 Av→ そのもの。線形写像＝行列。L1で「ベクトルを変換する機械」と呼んだ行列の正体は、線形写像の座標表示だったのだ。行列の積が写像の合成に対応すること（AB ＝「Bしてから A」）も、これで必然だとわかる。

例4 ：90°回転はどんな行列？ e₁ ＝ (1, 0) は (0, 1) へ、e₂ ＝ (0, 1) は (−1, 0) へ回る。列に並べて——

\[R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]

検算：R を2回掛けると [[−1, 0], [0, −1]] ＝ −E——180°回転 ✓（複素数平面の i²＝ −1 と同じ景色！ G6）

よくあるまちがい

その1：f(x) ＝ x ＋ 1 型を線形と呼ぶ。 平行移動が混ざると線形写像ではない（f(0) ≠ 0 が即座の判定法）。

その2：行の並べ方と列の並べ方の混同。 表現行列は基底の行き先を列に並べる。行に並べると転置行列になってしまい、回転の向きが逆転する。

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