核・像と次元定理

つぶれる部分と、届く範囲

線形写像 f : V → W には、2つの重要な付属品がある。

核 Ker f ＝ {v

f(v) ＝ 0}——0につぶれてしまうベクトルの集まり。

像 Im f ＝ {f(v)

v ∈ V}——実際に届く先の集まり。

どちらも部分空間になる（前たんげんの3点セットで確認できる）。そして——

• Ker f ＝ {0} ⇔ f は単射（つぶれるのが0だけなら、かぶりようがない）
• Im f ＝ W ⇔ f は全射（定義そのもの）

S3の単射・全射が、線形の世界では部分空間の言葉に翻訳される。

例1 ：f(x, y) ＝ (x, 0)（x軸への正射影）。

Ker：f(x, y) ＝ 0 ⇔ x ＝ 0——y軸（次元1）。Im：届くのは (x, 0) の形——x軸（次元1）。たてにぺしゃんと押しつぶす写像の、つぶれた方向が核、生き残った方向が像だ。

例2 ：90°回転 R。つぶれるベクトルは0だけ（回しても長さは変わらない）——Ker ＝ {0}、単射。どこへでも届く——Im ＝ R²、全射。回転は全単射（逆回転が逆写像）。

次元定理 — つぶれと届きの保存則

例1を見直すと、dim Ker ＋ dim Im ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2 ＝ dim R²。例2でも 0 ＋ 2 ＝ 2。偶然ではない——

\[\dim(\operatorname{Ker} f) + \dim(\operatorname{Im} f) = \dim V\]

次元定理。もとの空間のn本の軸は、「つぶれる軸」と「生き残る軸」にきっちり分配される——次元の保存則だ。

例3 ：連立方程式 Ax→ ＝ b→（L1）に翻訳してみよう。Ker A は斉次方程式の解空間（解の自由度！）、Im A は「解が存在する右辺 b→ の範囲」。3変数の方程式で解の自由度が1なら、dim Im ＝ 3 − 1 ＝ 2——係数行列の実質的な情報は2本（ランク！ L1の伏線回収）。掃き出し法で消えた行の本数と、解のパラメータの本数が、次元定理でつながった。

例4 ：R³ → R² の線形写像に単射はあるか？ 単射なら dim Ker ＝ 0、すると dim Im ＝ 3——でも R² の部分空間は次元2まで。ありえない。3次元を2次元に押し込めば、必ずどこかがつぶれる——鳩の巣論法（P1の心）の線形代数版だ。

よくあるまちがい

その1：核と像の住所の混同。 Ker は定義域Vの部分空間、Im は行き先Wの部分空間。矢印のどちら側の話かを常に意識しよう。

その2：dim Im と「Wの次元」の混同。 次元定理に現れるのは dim Im（実際に届く範囲）であって dim W ではない。全射のときだけ両者が一致する。

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