ベクトル空間の公理と例

共通の骨格を抜き出す

これまで出会った「たせて、実数倍できる」ものたち——

• 平面・空間のベクトル（G5）：(1, 2) ＋ (3, 1)、2×(1, 2)
• 行列（L1）：成分ごとの和とスカラー倍
• 多項式：(x² ＋ 1) ＋ (2x − 3)、3×(x² ＋ 1)
• 関数：(f ＋ g)(x) ＝ f(x) ＋ g(x)、(2f)(x) ＝ 2f(x)

見た目はバラバラ。でも演算のふるまいは同じだ——交換できて、結合できて、分配法則が効いて、0がいて、逆向きがいる。

そこで、ふるまいの規則だけを公理として抜き出す。和とスカラー倍が定義され、次をみたす集合Vをベクトル空間という：結合法則・交換法則・零ベクトルの存在・逆ベクトルの存在（和の規則）、そして 1v ＝ v や分配法則（スカラー倍の規則）——合わせて8つ。

N1のたし算から使い続けてきた計算法則が、ここで「公理」という設計図の座席に着いた。

「例である」ことを確かめる

例1 ：Rⁿ（n個の実数の組の全体）。成分ごとの和とスカラー倍で8公理をみたす——ベクトル空間の代表選手。R² は平面、R³ は空間、そして R¹⁰⁰ も同じ資格で扱える（絵は描けなくても、公理は生きている）。

例2 ：2次以下の多項式の全体 P₂。(a ＋ bx ＋ cx²) ＋ (a′ ＋ b′x ＋ c′x²) ＝ (a ＋ a′) ＋ …——係数ごとの計算は R³ とそっくりだ。実際、a ＋ bx ＋ cx² ↔ (a, b, c) の対応で、P₂ は R³ と「同じ形」（全単射で演算も保たれる——S3の言葉が効く）。

例3 ：仲間はずれの判定。「正の実数だけの集合（ふつうの和）」は？ 実数倍 (−1)×2 ＝ −2 が集合の外に出てしまう——ベクトル空間でない。「演算が集合の中で閉じている」ことは、最初に確かめるべき資格試験だ。

部分空間 — 空間の中の空間

Vの部分集合Wが、それ自身ベクトル空間になっているとき、部分空間という。判定は3点だけでよい：0を含む・和で閉じる・実数倍で閉じる。

例4 ：R³ の中の「原点を通る平面」は部分空間（平面上の2本をたしても平面上、伸ばしても平面上）。原点を通らない平面は0がないので部分空間ではない。

例5 ：連立一次方程式 Ax→ ＝ 0→ の解の全体は、Rⁿ の部分空間になる（解どうしをたしても解、倍しても解——L1の不定解のパラメータたちの住みかだ）。

よくあるまちがい

その1：公理を暗記対象と思う。 8つの規則は「N1以来の計算法則の目録」にすぎない。新しいのは規則ではなく、規則だけで議論するという態度だ。

その2：部分空間の判定で0を見落とす。 「和で閉じ、倍で閉じる」だけ確認して、空集合や原点を通らない平面を通してしまうミス。まず0がいるか——3点セットの筆頭だ。

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