一次独立・基底・次元

「本質的に何本か」を数える

R² のベクトルは、e₁ ＝ (1, 0) と e₂ ＝ (0, 1) の組み合わせで全部作れる：(3, 2) ＝ 3e₁ ＋ 2e₂。2本で足りる。1本では足りない（1本の実数倍は直線しか描けない）。平面は「本質的に2本」でできている——この感覚を定義にしよう。

ベクトルの組 v₁、…、vₖ の一次結合とは c₁v₁ ＋ … ＋ cₖvₖ の形の式。そして——

一次独立 ：c₁v₁ ＋ … ＋ cₖvₖ ＝ 0 となるのが c₁ ＝ … ＝ cₖ ＝ 0 のときだけ。つまりどの1本も他から作れない（全員が新しい方向を担っている）。

そうでないとき一次従属——誰かが冗長だ。

例1 ：(1, 0) と (0, 1)——独立（c₁(1,0) ＋ c₂(0,1) ＝ (c₁, c₂) ＝ 0 なら両方0）。

例2 ：(1, 2) と (2, 4)——従属（2倍の関係。2v₁ − v₂ ＝ 0）。2本あっても直線1本分の働きしかない。判定は行列式でもできる：det [[1, 2], [2, 4]] ＝ 0——ぺしゃんこ（L1）は従属の別名だった。

基底 — 空間の「軸」の正式な選び方

空間Vのベクトルの組が——

1. Vの全員を一次結合で作れる（生成する）
2. 一次独立（無駄がない）

の両方をみたすとき、基底という。「過不足ない軸のセット」だ。

そして重要定理：どの基底を選んでも、本数は同じ。この共通の本数が空間の次元 dim V だ。

例3 ：R² の基底は {(1, 0), (0, 1)} でも {(1, 1), (1, −1)} でもよい。どれも2本——dim R² ＝ 2。

例4 ：2次以下の多項式 P₂ の基底は {1, x, x²}——dim P₂ ＝ 3。「多項式の空間は3次元」という言い方が、正確な意味を持った。

基底 {v₁, …, vₙ} を選ぶと、どのベクトルも v ＝ c₁v₁ ＋ … ＋ cₙvₙ とただ一通りに書ける（一意性は一次独立から出る）。この (c₁, …, cₙ) が座標——デカルトの座標（G5）は「基底を選ぶ」行為だったのだ。

自由度の正体

連立方程式の不定解（L1）「x ＝ 3 − t、y ＝ t」を思い出そう。解全体は1本のパラメータで動く——解空間の次元が1ということだ。「自由度」という曖昧だった言葉が、次元という定義済みの言葉になった。データ科学で「100次元のデータ」と言うときも、意味はまったく同じ——独立な軸が100本。

よくあるまちがい

その1：「本数が多い＝生成できる」と思う。 (1, 2) と (2, 4) は2本あってもR²を生成しない（従属だから直線どまり）。本数と独立性は別のチェック項目だ。

その2：基底の一意性と次元の一意性の混同。 基底の選び方は無数にある。一意なのは本数（次元）——「どんな物差しでも長さは同じ」に似た定理だ。

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