たんげんテスト A5-4-3
たんげんテスト:いろいろな関数の積分
この ページで まなぶ こと
- 積分の公式・置換積分・部分積分をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「積分の応用」へ!
「いろいろな関数の積分」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
∫sin x dx = ?
かいせつ(−cos x)′ = sin x だから ∫sin x dx = −cos x + C。cos x + C は符号ミスの定番——微分して検算すれば見つかる。
Q2
きほん
∫eˣ dx = ?
かいせつ(eˣ)′ = eˣ——微分しても変わらないから、積分しても変わらない。∫eˣ dx = eˣ + C。
Q3
きほん
∫cos 5x dx = (sin 5x)/□ + C。□は?
かいせつsin 5x を微分すると連鎖律で 5cos 5x と5が降りてくる。中身の係数5でわって ∫cos 5x dx = (sin 5x)/5 + C。□ = 5。
Q4
ふつう
∫e³ˣ dx = e³ˣ/□ + C。□は?
かいせつ中身が一次式なら係数でわる。e³ˣ は微分すると3倍出てくるので、3でわって ∫e³ˣ dx = e³ˣ/3 + C。□ = 3。
Q5
ふつう
∫2x(x² + 3)⁴ dx = (x² + 3)⁵/□ + C。□は?
かいせつt = x² + 3 と置くと dt = 2x dx。∫t⁴ dt = t⁵/5 + C = (x² + 3)⁵/5 + C だから □ = 5。
Q6
ふつう
∫x cos x dx に使う技は?
かいせつx × cos x は異種の関数の積——部分積分の出番。cos x を積分係、x を微分係にすれば x sin x + cos x + C と解ける。置換は中身の微分が隣にいる形のための技だ。
Q7
チャレンジ
∫₀¹ x eˣ dx = ?
かいせつ部分積分で ∫x eˣ dx = x eˣ − eˣ。∫₀¹ x eˣ dx = [x eˣ − eˣ]₀¹ = (e − e) − (0 − 1) = 1。
Q8
チャレンジ
∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = ?
かいせつ[−cos x]₀^π = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2。cos π = −1、cos 0 = 1 を代入する。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア! よく できました!