連続と中間値の定理

「つながっている」を式にする

グラフが切れずにつながっている——この素朴な感覚を、極限の言葉で書ける。

\[x = a \text{ で連続} \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\]

「近づいた行き先」と「その場の値」が一致する——それが連続だ。多項式・sin・cos・指数関数は、どこでも連続。一方——

例1 ：f(x) ＝ (x² − 1)/(x − 1) は x ＝ 1 で定義されない（穴あき——A4）。

例2 ：「x未満で最大の整数」（ガウス記号）のグラフは、各整数で段差ジャンプする。x ＝ 1 に左から近づくと0、右からだと1——行き先が割れて、不連続。

連続は「あたりまえ」ではなく、関数の持つ性質のひとつなんだ。

中間値の定理 — 途中をとばせない

連続な関数の最大の御利益がこれだ。

f が閉区間 [a, b] で連続で、f(a) と f(b) の間に値 k があるなら、f(c) ＝ k となる c が a と b の間に必ず存在する。

つながった線で山のふもとから頂上へ行くなら、途中のすべての高さを必ず通る——ワープはできない。とくに便利なのがこの形：

f(a) ＜ 0 かつ f(b) ＞ 0 なら、間のどこかに f(c) ＝ 0 の点（方程式の解）がある。

例3 ：x³ ＋ x − 1 ＝ 0 は 0 と 1 の間に解を持つか？

f(0) ＝ −1 ＜ 0、f(1) ＝ 1 ＞ 0。f は多項式で連続——間に必ず解がある ∎

解を求めていないのに、在ることが証明できた。「存在だけを保証する」——これは数学の新しい型の主張だ（S2の証明のレパートリーがまた増えた）。しかも区間を半分に割って符号を調べ続ければ、解をいくらでも精密に追いつめられる——コンピュータが方程式を解く「二分法」は、この定理を無限にくり返しているだけなんだよ。

例4 ：f(0.5) ＝ 0.125 ＋ 0.5 − 1 ＝ −0.375 ＜ 0。だから解は 0.5 と 1 の間。もう半分に絞れた。

よくあるまちがい

その1：不連続な関数に中間値の定理を使う。 段差でジャンプする関数は途中をとばせる。定理の前提「連続」は飾りではない——毎回確認すること。

その2：「解がある」を「解が1個」と読む。 定理が保証するのは少なくとも1つ。3回横切るかもしれない。個数まで知りたければ増減（微分——次のたんげん）の出番だ。

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