たんげんテスト A5-1-3
たんげんテスト：関数の極限と連続
この ページで まなぶ こと
- いろいろな極限・はさみうち・連続をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「いろいろな関数の微分」へ！
「関数の極限と連続」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
lim (x→∞) (4x ＋ 3)/(x ＋ 1) ＝ ？
かいせつ分母の主役 x で分子・分母をわると (4 ＋ 3/x)/(1 ＋ 1/x)。x → ∞ で 3/x → 0、1/x → 0 だから、極限は 4/1 ＝ 4。
Q2
きほん
lim (x→0) sin x/x ＝ ？
かいせつcos x ＜ sin x/x ＜ 1 が成り立ち、x → 0 で cos x → 1。はさみうちの原理で極限は 1。約分ではなく、はさみうちが勝ち取った値だ。
Q3
きほん
lim (x→∞) 1/3ˣ ＝ ？
かいせつ3ˣ は x → ∞ でどこまでも大きくなるから、その逆数 1/3ˣ は 0 に近づく。
Q4
ふつう
lim (x→0) sin 4x/x ＝ ？
かいせつsin 4x/x ＝ 4・(sin 4x/4x) と変形して、sin の中身と分母を 4x にそろえる。x → 0 で sin 4x/4x → 1 だから、4 × 1 ＝ 4。
Q5
ふつう
lim (x→∞) sin x/x ＝ ？
かいせつ−1/x ≦ sin x/x ≦ 1/x で、x → ∞ のとき両側とも 0 に収束するから、はさみうちの原理で 0。x → 0 のときの極限 1 と混同しないように。
Q6
ふつう
連続な関数だけが持つ性質は？
かいせつ連続な関数は区間の途中の値をすべてとる——これが中間値の定理。グラフが直線になるとは限らないし、連続でも微分できるとは限らない（角のあるグラフなど）。
Q7
チャレンジ
f(x) ＝ x³ − 2x − 1 について f(2) ＝ ？
かいせつx ＝ 2 を代入して、f(2) ＝ 2³ − 2・2 − 1 ＝ 8 − 4 − 1 ＝ 3。
Q8
チャレンジ
f(1) ＝ −2 ＜ 0、f(2) ＝ 3 ＞ 0（fは連続）。x³ − 2x − 1 ＝ 0 は？
かいせつf は連続で、f(1) ＜ 0 から f(2) ＞ 0 へ符号が変わる。中間値の定理より、1 と 2 の間に f(c) ＝ 0 の点が必ずある。ただし場所までは特定できないから「x ＝ 1.5 が解」とは言えない。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！