増減表と極大・極小

傾きの符号は、坂の向き

導関数 f′(x) は各点の傾き。ならば——

• f′(x) ＞ 0 の区間 → グラフは上り坂（増加）
• f′(x) ＜ 0 の区間 → グラフは下り坂（減少）
• f′(x) ＝ 0 の点 → 平らな瞬間

上りから下りに切りかわる点が山の頂上（極大）、下りから上りに切りかわる点が谷底（極小）。関数の形が、微分でぜんぶ読める。

増減表 — グラフの設計図

例1 ：y ＝ x³ − 3x のグラフの形を調べよう。

手順1：微分する。y′ ＝ 3x² − 3 ＝ 3(x ＋ 1)(x − 1)。

手順2：y′ ＝ 0 となる x を求める。x ＝ −1、1。

手順3：増減表をつくる。y′ の符号は二次不等式（A2）の要領で：外側で正、内側で負。

x	…	−1	…	1	…
y′	＋	0	−	0	＋
y	↗	2	↘	−2	↗

手順4：読み取る。x ＝ −1 で極大値 2、x ＝ 1 で極小値 −2。上って、下って、また上る——N字型の曲線だ。

検算：極値の y は元の式に代入して求める。y(−1) ＝ −1 ＋ 3 ＝ 2 ✓、y(1) ＝ 1 − 3 ＝ −2 ✓

3次関数のグラフを、私たちは一度も点を打たずに描いた。微分はグラフの設計図をくれる。

極値は「最大・最小」とは限らない

極大は「まわりの中でいちばん高い」だけで、全体の最大とは限らない（山頂より高い山が遠くにあるかもしれない）。y ＝ x³ − 3x も、x を大きくすればいくらでも大きくなる。

でも区間が決まっていれば話は別——候補は「極値」と「区間の端」だけ。

例2 ：y ＝ x³ − 3x（0 ≦ x ≦ 2）の最大・最小は？

候補：極小 y(1) ＝ −2、端 y(0) ＝ 0、y(2) ＝ 2。（極大 x ＝ −1 は区間外！）

最大値 2（x ＝ 2）、最小値 −2（x ＝ 1）。二次関数（A2）では平方完成が頼りだったこの種の問題が、微分でどんな多項式にも通じるようになった。

よくあるまちがい

その1：f′(a) ＝ 0 なら必ず極値、と思う。 y ＝ x³ は x ＝ 0 で y′ ＝ 0 だが、前後どちらも上り坂——極値ではない（一瞬平らになるだけ）。符号が変わるかまで確かめること。増減表はそのためにある。

その2：極値の値を y′ に代入して出す。 極大値は元の関数 y の値。y′(−1) ＝ 0 であって 2 ではない。「場所は y′ ＝ 0 で探し、高さは y で測る」。

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