たんげんテスト A10-1-2
たんげんテスト：複素関数と正則性
この ページで まなぶ こと
- 正則性とCR方程式をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「コーシーの積分定理」へ！
「複素関数と正則性」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
f(z) ＝ z² の f′(5) ＝ ？
かいせつ(z²)′ ＝ 2z は実関数と同じ形。z ＝ 5 を代入して f′(5) ＝ 2 × 5 ＝ 10。
Q2
きほん
複素微分の条件が実よりきびしい理由は？
かいせつ定義式そのものは実関数と同じ。ただし h が複素数なので、平面の全方向から 0 に近づけてすべて同じ値にならなければならない。左右2方向だけだった実関数より条件が格段にきびしい。
Q3
きほん
正則なのはどれ？
かいせつ多項式 z³ は全平面で正則で (z³)′ ＝ 3z²。z̄ は ∂u/∂x ＝ 1 ≠ −1 ＝ ∂v/∂y でCR方程式が破れ、｜z｜ も実数値しかとらず正則でない。
Q4
ふつう
z² の虚部 v ＝ 2xy の ∂v/∂y ＝ □x。□は？
かいせつx を定数とみて y で偏微分すると ∂v/∂y ＝ 2x。u ＝ x² − y² の ∂u/∂x ＝ 2x と一致し、CR方程式の1本目が成り立つ。
Q5
ふつう
f(z) ＝ z⁴ の f′(1) ＝ ？
かいせつ(z⁴)′ ＝ 4z³ だから f′(1) ＝ 4 × 1³ ＝ 4。zⁿ の微分公式は複素でもそのまま使える。
Q6
チャレンジ
CR方程式の2本目 ∂u/∂y ＝ ？
かいせつCR方程式の2本目は ∂u/∂y ＝ −∂v/∂x。マイナスがつくのがポイントで、i を掛けると90°回ることの名残だ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！