たんげんテスト A8-1-3
たんげんテスト：1階常微分方程式
この ページで まなぶ こと
- 変数分離法とモデルの読み書きをつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「線形微分方程式」へ！
「1階常微分方程式」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
y′ ＝ 5y の一般解は y ＝ Ce^(□t)。□は？
かいせつ変数分離で dy/y ＝ 5 dt。両辺を積分して log|y| ＝ 5t ＋ C₁、指数をとって y ＝ Ce^(5t)——□は 5。検算：微分すると 5Ce^(5t) ＝ 5y ✓
Q2
きほん
y′ ＝ 2y、y(0) ＝ 4 のとき C ＝ ？
かいせつ一般解は y ＝ Ce^(2t)。初期条件 y(0) ＝ 4 を代入すると Ce^0 ＝ C ＝ 4。「一般解→初期条件でC決定」の2段構えだ。
Q3
きほん
変数分離法とは？
かいせつdy/dt ＝ ky なら dy/y ＝ k dt と、yのものは左、tのものは右に分けてから両辺を積分する。分けて、積分する——それが変数分離法だ。
Q4
ふつう
「減る速さが量に比例」の解は？
かいせつ「減る速さが量に比例」は y′ ＝ −ky——減る現象だから右辺にマイナスが要る。変数分離で解くと y ＝ Ce^(−kt) の指数減衰。y ＝ Ce^(kt) は増える場合（指数増殖）だ。
Q5
ふつう
P′ ＝ 3P(1 − P/50) の正の平衡点は？
かいせつP′ ＝ 0 とおくと 3P(1 − P/50) ＝ 0。P ＝ 0 または 1 − P/50 ＝ 0、つまり P ＝ 50。正の平衡点は環境収容力の 50 だ。
Q6
チャレンジ
y′ ＝ y²、y(0) ＝ 1 の解が爆発する時刻は？
かいせつ変数分離で dy/y² ＝ dt → −1/y ＝ t ＋ C。y(0) ＝ 1 から C ＝ −1 で y ＝ 1/(1 − t)。分母が 0 になる t ＝ 1 で解は無限大に吹き飛ぶ——有限時間で爆発する例だ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！