三角関数の合成

波＋波＝波

y ＝ sin θ ＋ cos θ のグラフを想像してみよう。2種類の波の足し合わせ——ぐちゃぐちゃになりそうだが、描いてみるときれいな1本の波になる。

じつは、どんな a sin θ ＋ b cos θ も1本のsinにまとまる。これが合成だ。

\[a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(\theta + \alpha)\]

（αは cos α ＝ a/√(a² ＋ b²)、sin α ＝ b/√(a² ＋ b²) をみたす角。）

なぜまとまる？ — 加法定理の逆再生

右辺を加法定理で展開してみると——

\[r\sin(\theta + \alpha) = r\cos\alpha\sin\theta + r\sin\alpha\cos\theta\]

これが a sin θ ＋ b cos θ と一致するには、r cos α ＝ a、r sin α ＝ b ならいい。2乗して足すと r²(cos²α ＋ sin²α) ＝ a² ＋ b²、つまり r ＝ √(a² ＋ b²)。座標でいえば、点 (a, b) の原点からの距離が r、偏角が α。加法定理を逆向きに使っただけ——新しい魔法ではない。

例1 ：sin θ ＋ cos θ を合成しよう。

a ＝ 1、b ＝ 1。r ＝ √2。点 (1, 1) の偏角は π/4。よって——

\[\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\]

検算：θ ＝ 0 を代入。左辺 ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1。右辺 ＝ √2 sin(π/4) ＝ √2 × 1/√2 ＝ 1 ✓

例2 ：sin θ ＋ √3 cos θ を合成しよう。

r ＝ √(1 ＋ 3) ＝ 2。点 (1, √3) の偏角は π/3（cos ＝ 1/2、sin ＝ √3/2 の角）。

\[\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)\]

最大・最小が一目でわかる

合成の最大の使いみちはこれだ。sin(θ ＋ α) は必ず −1 以上 1 以下。だから——

a sin θ ＋ b cos θ の最大値は √(a² ＋ b²)、最小値は −√(a² ＋ b²)

例3 ：y ＝ 3 sin θ ＋ 4 cos θ の最大値は？

√(9 ＋ 16) ＝ √25 ＝ 5。合成すれば一瞬——二次関数の平方完成が頂点を見せてくれたように、合成は波の振幅を見せてくれる。「式を、正体が見える形に書き直す」——数学ハイウェイでくり返し出会ってきた、あの発想だ。

よくあるまちがい

その1：最大値を a ＋ b とする。 3 sin θ ＋ 4 cos θ の最大値は 7 ではなく 5。sinとcosは同時に1にならない（sin²＋cos²＝1 だから！）。最大値は必ず √(a² ＋ b²)。

その2：αの角を機械的に求めようとする。 αは「点 (a, b) の方向」。図に点を打てば、有名角なら一目でわかるし、そうでなくても cos α と sin α の値さえ言えれば十分だ。

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