指数関数 y ＝ aˣ

「今の量に比例して増える」の言葉

細菌が1時間ごとに2倍になる。最初1個なら、x時間後は 2ˣ 個。前ステップまでの拡張のおかげで、x ＝ 2.5時間後のような中途半端な時刻でも 2^2.5 ＝ 4√2 ≒ 5.7個と意味を持つ。

\[y = a^x \quad (a > 0,\ a \neq 1)\]

これが指数関数。グラフを見てみよう。

y ＝ 2ˣ（a ＞ 1） ：右上がり。xが1増えるごとに2倍——右へ行くほど爆発的に増える。左へ行くと 1/2、1/4、…と0に近づくが、0にはならない（負の指数でも値は正だったね）。

y ＝ (1/2)ˣ（0 ＜ a ＜ 1） ：右下がり。2ˣのグラフとy軸について対称だ（(1/2)ˣ ＝ 2⁻ˣ だから）。

どちらも必ず点 (0, 1) を通る（a⁰ ＝ 1）。そしてつねに y ＞ 0。

一方向にしか動かない、という強さ

a ＞ 1 のとき、xが増えれば aˣ は必ず増える（単調増加）。この「一方向性」が計算の武器になる：

aˣ ＝ aʸ ならば x ＝ y（同じ値を2回とることがないから）

例1 ：2ˣ ＝ 32 を解こう。

32 ＝ 2⁵ だから 2ˣ ＝ 2⁵。よって x ＝ 5。

例2 ：4ˣ ＝ 8 を解こう。

両辺を同じ底でそろえるのがコツ。4 ＝ 2²、8 ＝ 2³ だから——

\[2^{2x} = 2^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3}{2}\]

検算：4^(3/2) ＝ (4^(1/2))³ ＝ 2³ ＝ 8 ✓

例3 ：³√4 と ⁶√8 ではどちらが大きい？

どちらも2の累乗に直す：³√4 ＝ 2^(2/3) ＝ 2^(4/6)、⁶√8 ＝ 2^(3/6)。底2 ＞ 1 で指数関数は増加だから、指数の大きい ³√4 のほうが大きい。

半減期 — 減る方の指数関数

放射性物質は一定時間ごとに半分になる（半減期）。半減期が1日の物質は、x日後に (1/2)ˣ 倍。3日後には 1/8。「毎回同じ割合で減る」現象は 0 ＜ a ＜ 1 の指数関数の担当だ。

よくあるまちがい

その1：指数関数と二次関数の混同。 y ＝ x²（xを2乗）と y ＝ 2ˣ（2のx乗）は別物。x ＝ 10 で比べると 100 対 1024——指数関数の爆発力は多項式の比ではない。

その2：aˣ ＝ 0 に解があると思う。 2ˣ はどこまでも0に近づくが決して0にならない。「2ˣ ＝ 0 を解け」の答えは解なしだ。

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