対数関数と常用対数

指数関数を「逆から読む」

y ＝ 2ˣ は「xを決めるとyが決まる」。これを逆から読んで「yを決めるとxが決まる」としたのが対数関数だ。

\[y = \log_a x \quad (a > 0,\ a \neq 1)\]

y ＝ 2ˣ と y ＝ log₂x のグラフは、直線 y ＝ x について線対称——xとyの役割を入れかえたのだから、鏡うつしになる。グラフから読めること：

• 必ず点 (1, 0) を通る（log₂1 ＝ 0）
• x ＞ 0 の範囲にしかない（真数条件がグラフの形に現れている！）
• a ＞ 1 なら増加。ただし増え方はどこまでもゆるやかになる——指数関数の爆発と正反対

例1 ：log₂x ＝ 5 を解こう。定義から x ＝ 2⁵ ＝ 32。

例2 ：log₂x ＜ 3 を解こう。底2 ＞ 1 で対数は増加だから、不等号の向きはそのまま x ＜ 8。ただし真数条件 x ＞ 0 を忘れずに——答えは 0 ＜ x ＜ 8。

常用対数 — 「何桁？」を計算する

底10の対数 log₁₀ を常用対数という。10³ ＝ 1000、10⁴ ＝ 10000 だから——

Nの整数部分が k桁 ⇔ 10ᵏ⁻¹ ≦ N ＜ 10ᵏ ⇔ k − 1 ≦ log₁₀N ＜ k

つまり log₁₀N の整数部分＋1が桁数だ。

例3 ：2⁵⁰ は何桁の数？（log₁₀2 ≒ 0.301 とする）

\[\log_{10} 2^{50} = 50 \times \log_{10} 2 = 50 \times 0.301 = 15.05\]

15 ≦ log₁₀2⁵⁰ ＜ 16 だから、2⁵⁰ は 16桁。実際 2⁵⁰ ＝ 1125899906842624——たしかに16桁だ ✓ 巨大な数を書き出さずに、大きさだけ知る——これが対数の視力なんだ。

例4 ：毎年2倍に増えるものが1000倍を超えるのは何年後？

2ˣ ＞ 1000 の両辺の常用対数をとると 0.301x ＞ 3、x ＞ 9.96…。よって 10年後。地震のマグニチュード、音のデシベル、酸性度pH——世界の「桁で効く量」は、みんなこの常用対数で目盛られている。

よくあるまちがい

その1：真数条件を忘れる。 例2で「x ＜ 8」とだけ答えるミス。対数の不等式では、まず x ＞ 0（真数条件）を書いてから解く習慣を。

その2：桁数 ＝ log の整数部分、としてしまう。 log₁₀N ＝ 15.05 なら桁数は15でなく16。10¹ ＝ 10 が2桁であることで確かめよう（log ＝ 1、桁数 2）。

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