ステップ A2-1-3
二次不等式 — グラフで解く
この ページで まなぶ こと
- 放物線とx軸の位置関係から二次不等式を解けるようになる
- 判別式と共有点の個数の関係をつかえるようになる
x² 型（下に凸）で (x − α)(x − β) ＜ 0 なら α ＜ x ＜ β（内側）、＞ 0 なら x ＜ α または β ＜ x（外側）。放物線がx軸のどちら側にあるかを図で読む。
「yが負になるx」はどこ？
x² − 5x ＋ 6 ＜ 0 を解く——これは「y ＝ x² − 5x ＋ 6 のグラフがx軸より下にあるのは、xがどこのときか」という質問だ。不等式が、グラフの絵の問題に変わる。
手順1：因数分解して x軸との交点を見つける。x² − 5x ＋ 6 ＝ (x − 2)(x − 3) だから、交点は x ＝ 2 と 3（N10の二次方程式！）。
手順2：下に凸の放物線を描く。x軸を x ＝ 2 と 3 で横切り、その間だけ谷に沈む。
手順3：グラフがx軸より下 ＝ 2 と 3 の間。答え：2 ＜ x ＜ 3。
逆に x² − 5x ＋ 6 ＞ 0 なら、グラフがx軸より上の部分——x ＜ 2 または 3 ＜ x（外側）。
下に凸なら、＜ 0 は「内側」、＞ 0 は「外側」。 丸暗記でなく、放物線の絵からいつでも読み取れるように。
例1 ：x² − x − 12 ＞ 0 を解こう。
(x ＋ 3)(x − 4) ＝ 0 より交点は x ＝ −3、4。下に凸・＞ 0 は外側だから x ＜ −3 または 4 ＜ x。
検算：域内の点 x ＝ 5 を代入。25 − 5 − 12 ＝ 8 ＞ 0 ✓ 域外の点 x ＝ 0 では −12 ＜ 0 ✓
交点がないときは？ — 判別式の再登場
x軸との交点は方程式 ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の実数解。ということは、N11で学んだ判別式 D ＝ b² − 4ac がグラフの言葉に翻訳できる。
- D ＞ 0 → x軸と2点で交わる
- D ＝ 0 → x軸に接する（1点）
- D ＜ 0 → x軸と共有点なし（宙に浮いている）
例2 ：x² ＋ 2x ＋ 5 ＞ 0 を解こう。
D ＝ 4 − 20 ＝ −16 ＜ 0。交点なし。下に凸で宙に浮いている——つまりグラフはつねにx軸より上。答え：すべての実数。
（もし x² ＋ 2x ＋ 5 ＜ 0 なら、答えは「解なし」。グラフが下に来ることは一度もないから。）
実は平方完成でも確かめられる：x² ＋ 2x ＋ 5 ＝ (x ＋ 1)² ＋ 4 ≧ 4 ＞ 0。N11の「平方の非負性」とぴったりつながった。
例3 ：(x − 3)² ≦ 0 を解こう。
平方は0以上だから、≦ 0 になれるのはちょうど0のときだけ。答え：x ＝ 3（1点だけ！）。接するケースでは、こういう不思議な答えもありうる。
よくあるまちがい
その1：「＞ 0 の答えを α ＞ x ＞ β」と書く。 外側の範囲はひとつづきではない。「x ＜ −3 または 4 ＜ x」と、2つの部分に分けて書く。
その2：不等号の向きだけで内側・外側を暗記する。 上に凸（a ＜ 0）だと逆転する。まず両辺を−1倍して下に凸に直す（不等号の向きが変わる——N9の鉄則！）のが安全ルート。
れんしゅう
x² − 5x ＋ 6 ＜ 0 の解は 2 ＜ x ＜ □。□は？
x² − 5x ＋ 6 ＞ 0 の解は？
x² − 9 ＜ 0 の解は −3 ＜ x ＜ □。□は？
x² − 2x − 8 ＜ 0 の解は −2 ＜ x ＜ □。□は？
x² ＋ 4x ＋ 7 ＞ 0 の解は？（D ＝ 16 − 28 ＜ 0）
(x − 5)² ≦ 0 をみたす x は？
x² − 6x ＋ k ＝ 0 がx軸に接する（D ＝ 0）ときの k は？
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！