三角方程式 — 単位円で解く

「sin θ ＝ 1/2」は場所さがし

方程式 sin θ ＝ 1/2 を解くとは、単位円上で高さ（y座標）が 1/2 の点を探すこと。円に横線 y ＝ 1/2 を引くと——2か所で交わる。

ひとつは第1象限の θ ＝ π/6（sin(π/6) ＝ 1/2、G4の有名角）。もうひとつは第2象限、y軸について対称の位置——θ ＝ π − π/6 ＝ 5π/6。

\[0 \le \theta < 2\pi \text{ のとき} \quad \theta = \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}\]

二次方程式が2解を持つように、三角方程式も複数の解を持つのがふつう。しかも範囲を外せば、2πごとに無限に解がある（周期性！）。だから問題には必ず「0 ≦ θ ＜ 2π で」のような範囲がつく。

検算：sin(5π/6) ＝ sin(π − π/6) ＝ sin(π/6) ＝ 1/2 ✓（G4の 180° − θ の公式がラジアンでも現役だ。）

cos は縦線をひく

例1 ：0 ≦ θ ＜ 2π で cos θ ＝ 1/2 を解こう。

cosは横位置（x座標）だから、今度は縦線 x ＝ 1/2 を引く。交点は第1象限の θ ＝ π/3 と、x軸について対称な第4象限の θ ＝ 2π − π/3 ＝ 5π/3。

\[\theta = \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}\]

sinの2解は「πから引く」ペア、cosの2解は「2πから引く」ペア——対称の向きがちがう。丸暗記せず、円と直線の絵を毎回描こう。

例2 ：0 ≦ θ ＜ 2π で sin θ ＝ −√3/2 を解こう。

横線 y ＝ −√3/2 は円の下半分で交わる。基準の角は sin が √3/2 になる π/3。下半分でそれに対応するのは θ ＝ π ＋ π/3 ＝ 4π/3 と θ ＝ 2π − π/3 ＝ 5π/3。

例3 ：0 ≦ θ ＜ 2π で cos θ ＝ −1 を解こう。

縦線 x ＝ −1 は円と1点 P(−1, 0) だけで接する。解は θ ＝ π のただひとつ。端の値（±1）では解の個数が減る——二次方程式の重解に似た現象だ。

不等式も同じ絵で

例4 ：0 ≦ θ ＜ 2π で sin θ ＞ 1/2 の範囲は？

横線 y ＝ 1/2 より上にある円弧はどこか。π/6 から 5π/6 までの上側の弧。答え：π/6 ＜ θ ＜ 5π/6。方程式の解が、不等式では範囲の境界になる。

よくあるまちがい

その1：解をひとつ見つけて満足する。 sin θ ＝ 1/2 に θ ＝ π/6 だけ答えるミス。単位円と直線は（接する場合を除き）2点で交わる——絵を描けば見落とさない。

その2：sinとcosで対称の向きを混同。 sinの相方は「π −」、cosの相方は「2π −」。これも絵が守ってくれる。

れんしゅう

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。

あたらしい もんだいを つくる