ステップ G3-7-3

方べきの定理

この ページで まなぶ こと

  • 方べきの定理を相似から導いて使えるようになる

円の2つの弦がPで交わるとき PA×PB ＝ PC×PD。円周角の定理→相似→比の等式、という合わせ技で証明できる。

交わる2本の弦

円の中で2本の弦ABとCDが点Pで交わっているとしよう。このとき——

\[PA \times PB = PC \times PD\]

これを方べきの定理（ほうべきのていり）というよ。積が等しくなる、少し意外な定理だ。

証明 — この章の総決算

△PACと△PDBに注目する。

  • ∠APC ＝ ∠DPB（対頂角）
  • ∠CAP ＝ ∠BDP（同じ弧CBに対する円周角）

2組の角がそれぞれ等しいから △PAC ∽ △PDB。相似な三角形の対応する辺の比は等しいので——

\[PA : PD = PC : PB\]

比の内側どうし・外側どうしをかけて（比例式の性質）、PA × PB ＝ PC × PD。∎

対頂角（この章の最初の定理！）、円周角の定理、相似——G3章で積み上げた部品が全部そろって、ひとつの証明に収まった。積み木の塔のてっぺんからの眺めだ。

例 ：PA ＝ 3、PB ＝ 8、PC ＝ 4 のとき、PD ＝ 3 × 8 ÷ 4 ＝ 6。

れんしゅう

Q1 きほん

2弦がPで交わり、PA ＝ 2、PB ＝ 6、PC ＝ 3 のとき、PD は？

Q2 きほん

PA ＝ 4、PB ＝ 9、PC ＝ 6 のとき、PD は？

Q3 ふつう

方べきの定理の証明で、∠CAP ＝ ∠BDP の根拠は？

Q4 ふつう

方べきの定理の証明の流れとして正しいのは？

Q5 チャレンジ

弦ABの中点Mで別の弦CDと交わり、AM ＝ MB ＝ 6、CM ＝ 4 のとき、MD は？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。