ステップ G3-7-3
方べきの定理
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- 方べきの定理を相似から導いて使えるようになる
円の2つの弦がPで交わるとき PA×PB ＝ PC×PD。円周角の定理→相似→比の等式、という合わせ技で証明できる。
交わる2本の弦
円の中で2本の弦ABとCDが点Pで交わっているとしよう。このとき——
\[PA \times PB = PC \times PD\]これを方べきの定理（ほうべきのていり）というよ。積が等しくなる、少し意外な定理だ。
証明 — この章の総決算
△PACと△PDBに注目する。
- ∠APC ＝ ∠DPB（対頂角）
- ∠CAP ＝ ∠BDP（同じ弧CBに対する円周角）
2組の角がそれぞれ等しいから △PAC ∽ △PDB。相似な三角形の対応する辺の比は等しいので——
\[PA : PD = PC : PB\]比の内側どうし・外側どうしをかけて（比例式の性質）、PA × PB ＝ PC × PD。∎
対頂角（この章の最初の定理！）、円周角の定理、相似——G3章で積み上げた部品が全部そろって、ひとつの証明に収まった。積み木の塔のてっぺんからの眺めだ。
例 ：PA ＝ 3、PB ＝ 8、PC ＝ 4 のとき、PD ＝ 3 × 8 ÷ 4 ＝ 6。
れんしゅう
Q1
きほん
2弦がPで交わり、PA ＝ 2、PB ＝ 6、PC ＝ 3 のとき、PD は？
かいせつ方べきの定理より PA × PB ＝ PC × PD。2 × 6 ＝ 12 だから、PD ＝ 12 ÷ 3 ＝ 4。
Q2
きほん
PA ＝ 4、PB ＝ 9、PC ＝ 6 のとき、PD は？
かいせつ方べきの定理より PA × PB ＝ PC × PD。4 × 9 ＝ 36 だから、PD ＝ 36 ÷ 6 ＝ 6。
Q3
ふつう
方べきの定理の証明で、∠CAP ＝ ∠BDP の根拠は？
かいせつ∠CAPと∠BDPは、どちらも同じ弧CBに対する円周角だから等しい。対頂角が根拠なのは ∠APC ＝ ∠DPB のほうだ。
Q4
ふつう
方べきの定理の証明の流れとして正しいのは？
かいせつ対頂角と円周角の「2組の角」で △PAC ∽ △PDB を示し、PA : PD ＝ PC : PB を比例式の性質で積の形 PA × PB ＝ PC × PD に直す流れだった。
Q5
チャレンジ
弦ABの中点Mで別の弦CDと交わり、AM ＝ MB ＝ 6、CM ＝ 4 のとき、MD は？
かいせつ方べきの定理より MA × MB ＝ MC × MD。6 × 6 ＝ 36 だから、MD ＝ 36 ÷ 4 ＝ 9。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！