「ならば」と 反例

数学でいちばん大事な接続詞

\[P \implies Q \qquad （PならばQ）\]

「Pが成り立つ場合は、いつでもQも成り立つ」という主張だ。Pを仮定、Qを結論というよ。

例1 ：「xが4の倍数ならば、xは偶数である」

4の倍数を並べると 4, 8, 12, 16, …。どれも偶数だ。4の倍数でありながら奇数であるものは存在しない。だからこの命題は真。

例2 ：「xが偶数ならば、xは4の倍数である」

例1の向きを逆にしただけだけど——6は偶数なのに4の倍数ではない。主張が破れる例が見つかったから、この命題は偽。

反例 — たった1つで撃破

例2の「6」のように、仮定は成り立つのに結論が成り立たない例を反例（はんれい）というよ。

「ならば」の命題について、はっきりさせておこう。

• 偽だと示すには……反例を1つ挙げれば十分
• 真だと示すには……あてはまる場合すべてで成り立つことを言わなければならない（例をいくつか確かめただけでは不十分！）

この非対称性が、数学に「証明」が必要な理由だ。1つ2つの例で成り立ったからといって、いつでも成り立つとは限らない。

例3 ：「xが素数ならば、xは奇数である」——3も5も7も奇数。でも2は素数なのに偶数。反例があるので偽。あぶないあぶない。

Pが成り立たない場合は？

「雨ならば傘をさす」と約束した人が、晴れの日に傘をさしていてもさしていなくても、約束は破られていないよね。同じように「PならばQ」は、Pが成り立たない場合については何も主張していない。約束が破られるのは「Pなのに、Qでない」ときだけ——これが反例の正体だよ。

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