ステップ S1-2-4

逆・裏・対偶

この ページで まなぶ こと

  • 「ならば」の命題から逆・裏・対偶を作れるようになる
  • もとの命題と対偶の真偽が一致することがわかる

P⟹Qに対し、逆はQ⟹P、裏は(Pでない)⟹(Qでない)、対偶は(Qでない)⟹(Pでない)。もとの命題と対偶は真偽がつねに一致する。

3つの親戚

命題「P ⟹ Q」から、3つの親戚が作れるよ。

名前 形
もとの命題 P ⟹ Q
逆（ぎゃく） Q ⟹ P（向きを反対に）
裏（うら） Pでない ⟹ Qでない（両方を否定）
対偶（たいぐう） Qでない ⟹ Pでない（向きを反対にして両方を否定）

例1 ：「4の倍数ならば偶数」（真）で作ってみると——

  • 逆：「偶数ならば4の倍数」……偽（反例：6）
  • 裏：「4の倍数でないならば偶数でない」……偽（反例：6は4の倍数でないが偶数）
  • 対偶：「偶数でないならば4の倍数でない」……真（奇数が4の倍数になれるはずがない）

逆は成り立つとは限らない

もとが真でも、逆が真とは限らない。「正方形ならば長方形」は真だけど、「長方形ならば正方形」は偽だね。もとの命題と逆を混同するのは、日常の議論でも数学でもいちばん多い間違いのひとつ。「逆もまた真」と言いたくなったら、必ず反例をさがしてからにしよう。

対偶はいつでも運命共同体

いっぽう対偶は、もとの命題とつねに真偽が一致する。

「4の倍数ならば偶数」と「奇数ならば4の倍数でない」——よく味わうと、同じ状況を表と裏から述べているだけだとわかる。「PなのにQでない」という反例が存在しない、という中身がまったく同じなんだ。

この事実はただの豆知識ではない。直接示しにくい命題を、対偶に言いかえて証明する——という強力な技につながる。その活躍は S2「証明の技法」で見ることにしよう。

れんしゅう

Q1 きほん

「xが8の倍数ならば、xは2の倍数である」の逆はどれかな？

Q2 きほん

「xが8の倍数ならば、xは2の倍数である」の対偶はどれかな？

Q3 ふつう

真の命題「正三角形ならば二等辺三角形」の逆の真偽は？

Q4 ふつう

もとの命題が真のとき、必ず真といえるのはどれかな？

Q5 チャレンジ

「雨ならば地面がぬれる」の対偶はどれかな？

Q6 チャレンジ

逆と裏の関係について正しいものはどれかな？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。