ステップ S1-2-3

必要条件と 十分条件

この ページで まなぶ こと

  • 必要条件・十分条件・必要十分条件を判定できるようになる

「PならばQ」が真のとき、PはQであるための十分条件、QはPであるための必要条件。両方向が真なら必要十分条件（同値）。

「ならば」に名前をつける

「P ⟹ Q」（PならばQ）が真のとき、こう呼ぶ約束をするよ。

  • PはQであるための十分条件 ……Pでありさえすれば、Qには「十分」
  • QはPであるための必要条件 ……Pであるためには、Qであることが「必要」

例1 ：「xが4の倍数 ⟹ xは偶数」は真。だから——

  • 「4の倍数である」ことは、「偶数である」ための十分条件（4の倍数とわかれば偶数と断言するのに十分）
  • 「偶数である」ことは、「4の倍数である」ための必要条件（偶数でなければ4の倍数にはなれない）

逆向きの「偶数 ⟹ 4の倍数」は偽（反例：6）だから、「偶数」は十分条件ではない。

イメージは「範囲の広さ」

十分条件はせまい側、必要条件は広い側だ。4の倍数（4, 8, 12, …）は偶数（2, 4, 6, 8, …）の中にすっぽり入っている。せまい側に入っていれば広い側にいるのは確実（十分）、広い側に入っているのはせまい側の最低条件（必要）——この絵で覚えると迷わないよ。

例2 ：「x ＝ 3」と「x² ＝ 9」の関係は？

  • x ＝ 3 ⟹ x² ＝ 9 は真。だから「x ＝ 3」は十分条件
  • x² ＝ 9 ⟹ x ＝ 3 は偽（反例：x ＝ −3）。だから「x² ＝ 9」は必要条件どまり

必要十分条件 — 完全一致

両方向がともに真、つまり P ⟹ Q も Q ⟹ P も真のとき、PはQであるための必要十分条件という（QもPの必要十分条件）。このときPとQは同値——実質的に同じ条件だ。

例3 ：「xは偶数である」と「xは2の倍数である」。どちらの向きも真だから必要十分条件。言いかえにすぎないんだね。

れんしゅう

Q1 きほん

「xが6の倍数」は「xが3の倍数」であるための何かな？

Q2 きほん

「xが3の倍数」は「xが6の倍数」であるための何かな？

Q3 ふつう

「xは正三角形」は「xは二等辺三角形」であるための何かな？

Q4 ふつう

「x² ＝ 25」は「x ＝ 5」であるための何かな？

Q5 チャレンジ

「三角形の3辺が等しい」は「三角形の3つの角が等しい」であるための何かな？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。