ステップ S1-2-2

すべてとある

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「すべてのxでP」は例外が1つでもあれば偽。「あるxでP」は例が1つあれば真。否定すると「すべて」と「ある」が入れかわる。

条件「xは偶数である」に値を入れると命題になった。じつはもうひとつ、値を入れずに命題化する方法がある。「すべて」か「ある」をかぶせるんだ。

「すべての〜」を全称、「ある〜（〜が存在する）」を存在の主張というよ。

主張	真だと示すには	偽だと示すには
すべてのxでP	ぜんぶで成り立つと示す	例外（反例）を1つ挙げる
あるxでP	例を1つ挙げる	ぜんぶで成り立たないと示す

例1 ：「すべての素数は奇数である」——反例2があるので偽。

例2 ：「ある素数は偶数である」——2という例があるので真。

例1と例2は同じ事実（2の存在）を見ているのに、主張の形がちがうから真偽が逆になる。主語の頭についている「すべて」か「ある」かを見落とさないこと。

「すべての生徒が宿題を出した」がうそだとしたら、何が起きている？——出していない生徒が（少なくとも1人）いる、だね。

\(「すべてのxでP」の否定 = 「あるxでPでない」\) \(「あるxでP」の否定 = 「すべてのxでPでない」\)

否定すると「すべて」と「ある」が入れかわり、中身のPが否定される。「すべて〜でない」としてしまう（「だれも宿題を出していない」）のはよくあるまちがい——もとの主張のうそのつきかたとしては強すぎるんだ。

Q1 きほん

「すべての4の倍数は偶数である」は真かな？偽かな？

Q2 きほん

「すべての偶数は4の倍数である」は真かな？偽かな？

Q3 きほん

「ある奇数は素数である」は真かな？偽かな？

Q4 ふつう

「すべての生徒がメガネをかけている」の否定はどれかな？

Q5 ふつう

「ある整数xで x² ＝ 2 となる」は真かな？偽かな？

Q6 チャレンジ

「あるxでPである」が偽のとき、確実に言えることはどれかな？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。