たんげんテスト S3-1-3
たんげんテスト：写像
この ページで まなぶ こと
- 写像・単射・全射・合成・逆写像をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「関係」へ！
「写像」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
「届き切る」写像は？
かいせつ全射は「Bのどの要素も、誰かのうつり先になっている」——届き切る写像。単射は「かぶらない」ほうの性質で、入力側と出力側のどちらの話かを区別しよう。
Q2
きほん
実数から実数への f(x) ＝ 3x − 1 は？
かいせつ3x − 1 ＝ 3x′ − 1 なら x ＝ x′——かぶらないから単射。どんな y にも x ＝ (y ＋ 1)/3 から届くから全射。両方みたすので全単射。
Q3
きほん
f(x) ＝ x ＋ 2、g(x) ＝ 2x のとき (g∘f)(1) ＝ ？
かいせつg∘f は「fしてからg」——先に内側の f が働く。f(1) ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3、つづけて g(3) ＝ 2 × 3 ＝ 6。
Q4
ふつう
(f∘g)(1) ＝ ？
かいせつf∘g は「gしてからf」。g(1) ＝ 2 × 1 ＝ 2、つづけて f(2) ＝ 2 ＋ 2 ＝ 4。問3の (g∘f)(1) ＝ 6 とちがう——合成は順序で結果が変わる。
Q5
ふつう
f(x) ＝ x²（実数から実数）に逆写像は？
かいせつf(1) ＝ f(−1) ＝ 1 とかぶるから単射でなく、y ＝ −1 には誰も届かないから全射でもない——全単射でないので逆写像は存在しない。√x が逆写像になるのは、定義域を x ≧ 0 に制限して全単射にしたときの話。
Q6
ふつう
f(x) ＝ 2x − 4 の f⁻¹(6) ＝ ？
かいせつf⁻¹(6) は f(a) ＝ 6 となる a のこと。2a − 4 ＝ 6 を解くと a ＝ 5。検算：f(5) ＝ 2 × 5 − 4 ＝ 6 で確かに戻る。
Q7
チャレンジ
全単射 f について f⁻¹∘f は？
かいせつf⁻¹∘f は「fでうつしてから逆写像で巻き戻す」——どの a も a 自身に戻るから、何もしない写像 id(a) ＝ a、つまり恒等写像になる。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！