たんげんテスト A6-2-3
たんげんテスト：関数の極限と連続（ε-δ）
この ページで まなぶ こと
- ε-δ論法と連続関数の定理をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「微分の理論」へ！
「関数の極限と連続（ε-δ）」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
ε-δ論法でεが表すのは？
かいせつεは出力 f(x) が極限 L からどれだけずれてよいかの誤差。入力の幅を受け持つのはδのほうで、傾きはどちらの記号でもない。「出力の誤差εの挑戦に入力の幅δで応じる」という役割分担。
Q2
きほん
lim (x→2) (4x ＋ 1) ＝ 9 の証明で δ ＝ ε/□。□は？
かいせつ|(4x ＋ 1) − 9| ＝ |4x − 8| ＝ 4|x − 2|。傾き 4 が入力誤差を 4 倍にするので、δ ＝ ε/4 と選べば 4|x − 2| ＜ 4×(ε/4) ＝ ε に抑えられる。
Q3
きほん
連続の定義は？
かいせつ連続とは lim (x→a) f(x) ＝ f(a)——近づいたときの行き先が、その場の値と一致すること。値の正負は無関係だし、極限が存在しないなら連続ではありえない。
Q4
ふつう
最大値の定理が保証するのは？
かいせつ定理が保証するのは「閉区間上の連続関数には最大値が存在する」ことだけ。どこで最大になるか（場所）は微分などで別に探す仕事で、最大値をとる点が1つとも限らない。「存在の保証」と「場所の特定」は別の仕事。
Q5
ふつう
開区間 (0, 1) 上の f(x) ＝ x の最大値は？
かいせつ値はいくらでも 1 に近づけるが、1 自身は開区間 (0, 1) に含まれないので最大値をとる点がない。0.999 よりさらに大きい 0.9999 があるように、どの候補にも上がいる。区間が閉じていないと最大値の定理は使えない。
Q6
チャレンジ
中間値の定理の証明の骨組みは？
かいせつ区間を半分に割って符号が変わる側を選び続け（二分法）、左端の単調有界列の収束を実数の連続性で保証し、行き先 c で f(c) ＝ 0 を絞り出す。微分は使わない（微分可能とは限らない関数の定理）し、背理法は最後の一押しに使うだけで骨組みではない。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！