たんげんテスト A6-1-3
たんげんテスト：数列の極限と実数の連続性
この ページで まなぶ こと
- ε-N論法と実数の連続性をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「関数の極限と連続（ε-δ）」へ！
「数列の極限と実数の連続性」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
aₙ ＝ 1/n で |aₙ| ＜ 0.1 となる最小の N は？
かいせつ1/n ＜ 0.1 ⇔ n ＞ 10。N ＝ 10 なら n ＞ 10 のすべてで成り立ち、N ＝ 9 では n ＝ 10 のとき 1/10 ＝ 0.1 で「＜ 0.1」を満たさない。最小の N は 10。
Q2
きほん
ε-N論法の量化子の正しい順序は？
かいせつεが先、Nが後——Nは挑戦εを見てから選ぶのでεに依存してよい。∃N を先に置くと「万能のNがある」という別の（まず成り立たない）主張になり、∃n で終わると「1点だけ近い」ことしか言えず収束にならない。
Q3
きほん
集合 {x | x ≦ 5} の上限は？
かいせつ5 は全要素を上から抑える上界。5 より小さい数 b は、集合の要素である 5 自身を抑えられないので上界でない。よって最小の上界＝上限は 5。
Q4
ふつう
aₙ ＝ 2/n で |aₙ| ＜ 0.01 となる最小の N は？
かいせつ2/n ＜ 0.01 ⇔ n ＞ 2/0.01 ＝ 200。n ＝ 200 では 2/200 ＝ 0.01 でちょうど等しく満たさないから、最小の N は 200。
Q5
ふつう
(1 ＋ 1/n)ⁿ が収束する根拠は？
かいせつ単調増加で 3 を超えない（上に有界）ことが示せるので、単調有界列の収束定理により収束が保証される。項が有理数かどうかは無関係で、極限も 1 ではなく e ≒ 2.72。
Q6
ふつう
その極限を表す文字は？
かいせつ(1 ＋ 1/n)ⁿ の極限が e ≒ 2.718——自然対数の底。πは円周率、iは虚数単位で別物。
Q7
チャレンジ
a₁ ＝ 1、aₙ₊₁ ＝ √(6 ＋ aₙ) の極限は？
かいせつ単調増加で 3 以下だから収束が保証され、極限をαとおくと α ＝ √(6 ＋ α)。2乗して α² − α − 6 ＝ 0、(α − 3)(α ＋ 2) ＝ 0。項は正だから α ＝ 3。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！