たんげんテスト A6-4-3
たんげんテスト：級数
この ページで まなぶ こと
- 無限級数の収束・発散と判定法をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「積分の理論」——A6章の最終ステージへ！
「級数」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
1/2 ＋ 1/4 ＋ 1/8 ＋ … ＝ ？
かいせつ初項 1/2、公比 1/2 の無限等比級数：a/(1 − r) ＝ (1/2)/(1 − 1/2) ＝ 1。
Q2
きほん
初項3、公比 1/2 の無限等比級数の和は？
かいせつ|1/2| ＜ 1 なので a/(1 − r) ＝ 3/(1 − 1/2) ＝ 3/(1/2) ＝ 6。
Q3
きほん
調和級数は？
かいせつ1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ … は、1/3 ＋ 1/4 ＞ 1/2 のようにグループごとに 1/2 を超え続けるので発散する（オレームの証明）。項が 0 に近づいても収束するとは限らない代表例。
Q4
ふつう
Σ1/n² は？
かいせつ1/n² ≦ 1/(n(n − 1)) ＝ 1/(n − 1) − 1/n（n ≧ 2）で、右側は望遠鏡式に打ち消して収束するから、比較判定法により Σ1/n² も収束する（値は π²/6）。「判定不能」はダランベールで比が 1 になる場合の話で、比較判定法なら結論が出る。
Q5
ふつう
「項が0に近づく」だけで収束と言える？
かいせつ「項→0」は収束の必要条件にすぎず、調和級数は項が 0 に近づくのに発散する。調和級数の項はすべて正だから、「項が正なら言える」も同じ反例で崩れる。
Q6
ふつう
0.333… ＝ 3/10 ＋ 3/100 ＋ … ＝ 1/□。□は？
かいせつ初項 3/10、公比 1/10 の無限等比級数：a/(1 − r) ＝ (3/10)/(1 − 1/10) ＝ (3/10)/(9/10) ＝ 3/9 ＝ 1/3。循環小数を分数に直す仕組みの正体が無限等比級数。
Q7
チャレンジ
Σxⁿ/n! がすべての実数で収束する理由は？
かいせつ隣接項の比は |x|/(n ＋ 1) → 0 ＜ 1 で、x がどんな実数でもダランベールの判定法により収束する。x が負なら項は正とは限らないし、x の大きさに制限もない——階乗がどんな指数の成長も追い抜くからだ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！