ド・モルガンの法則

否定すると ∩と∪が入れかわる

補集合を上線で書くことにしよう（Āは「Aの補集合」）。ド・モルガンの法則はこの2本だ。

\[\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\]

ことばにすると——

• 「AまたはB」でない ＝ 「Aでない」かつ「Bでない」
• 「AかつB」でない ＝ 「Aでない」または「Bでない」

補集合をとると、∩と∪が入れかわる。

日常のことばで納得する

「犬または猫を飼っている人」の否定を考えよう。それは「犬を飼っていない、かつ、猫も飼っていない人」——どちらも飼っていない人だ。「または」の否定が「かつ」に化けた。

逆に「犬と猫を両方飼っている人」の否定は？　「犬を飼っていない、または、猫を飼っていない」——少なくとも一方が欠けていればよい。

S1章の「すべて」と「ある」が否定で入れかわったのと同じ現象だ。否定は構造をひっくり返す——論理の世界の一貫したクセだよ。

ベン図で確かめる

A∪Bの補集合は、2つの円の外側の領域。いっぽう「Āの領域」と「B̄の領域」を別々にぬって重なった部分をとると——やはり2つの円の外側になる。図で確かめられるのがベン図の強みだ。紙にかいて、両方のぬりかたを見比べてみよう。

例 ：U ＝ {1, …, 10}、A ＝ {偶数}、B ＝ {3の倍数} で検証。

• A∪B ＝ {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}、その補集合は {1, 5, 7}
• Ā ＝ {1, 3, 5, 7, 9}、B̄ ＝ {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}、その共通部分は {1, 5, 7}

一致した！

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