共通部分・和集合・補集合

集合の演算

2つの集合から新しい集合を作る方法が3つあるよ。考える範囲全体の集合を全体集合 U と呼んでおく。

共通部分 A∩B ……AとBの両方に属する要素全体

和集合 A∪B ……AとBの少なくとも一方に属する要素全体

補集合 ……全体集合Uの中で、Aに属さない要素全体（Āと書く）

論理との対応

見覚えのある構図だね。∩は「かつ」、∪は「または」、補集合は「〜でない」。S1章の論理の演算が、集合では図形として見える。数学の「または」が両方OKをふくんでいたように、A∪BもA∩Bを内側にふくんでいるよ。

例1 ：A ＝ {1, 2, 3, 6}（6の約数）、B ＝ {2, 4, 6, 8} とすると——

\[A \cap B = \{2, 6\} \qquad A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}\]

例2 ：U ＝ {1, 2, …, 10}、A ＝ {偶数} のとき、Aの補集合 ＝ {1, 3, 5, 7, 9}。

例3 ：共通の要素がないとき、A∩B ＝ ∅。空集合がさっそく役に立った。

個数の関係

A∪Bの要素の個数を数えるとき、AとBの個数をたすだけだと重なりを2回数えてしまう。だから——

\[n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\]

この「重なりをひく」感覚は、場合の数（P1章）でも大活躍する。

れんしゅう

もっと れんしゅう

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