三角比と三角形の面積

「高さ」を sin が教えてくれる

三角形の面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2（G2以来の公式）。でも高さは、いつも問題文に書いてあるとは限らない。2辺とはさむ角から高さを作り出せるのが三角比だ。

辺 a を底辺にする。もう1辺 b が角 C をはさんで立っているとき、b の先端から底辺へ垂線を下ろすと、直角三角形ができて——

\[高さ = b\sin C\]

（Cが鈍角でも、sin(180° − C) ＝ sin C のおかげでこの式のまま成り立つ。）よって——

\[S = \frac{1}{2}ab\sin C\]

C ＝ 90° なら sin C ＝ 1 で、おなじみの「直角をはさむ2辺の積÷2」に戻る。

つかってみる

例1 ：a ＝ 6、b ＝ 4、C ＝ 30° の三角形の面積は？

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 30° = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\]

検算：C ＝ 90° なら面積12。30°はそれよりつぶれた三角形だから12より小さいはず ✓

例2 ：a ＝ 5、b ＝ 8、C ＝ 60° の面積は？

S ＝ (1/2)・5・8・(√3/2) ＝ 10√3。答えに√が残ってもあわてない——それが正確な値だ（N10）。

例3（定理の合わせ技） ：b ＝ 2、c ＝ 3、A ＝ 60° の三角形の、面積と残りの辺 a を両方求めよう。

面積：S ＝ (1/2)・2・3・sin 60° ＝ 3・(√3/2) ＝ 3√3/2。

残りの辺：余弦定理で a² ＝ 4 ＋ 9 − 2・2・3・(1/2) ＝ 7、a ＝ √7。

2辺と間の角が決まれば三角形は完全に決まる（合同条件SASそのもの！）。だから面積も残りの辺も角も、ぜんぶ計算で取り出せる。合同条件（G3）は「決まる」ことしか教えてくれなかったけれど、三角比は「いくつなのか」まで教えてくれる——それがこの章の到達点だ。

よくあるまちがい

その1：はさむ角以外の角を使ってしまう。 公式の sin に入るのは、使った2辺にはさまれた角。a・b と組むのは C だ。

その2：÷2 を忘れる。 ab sin C だけだと平行四辺形の面積（同じ2辺と角で作った平行四辺形のちょうど半分が三角形）。最後の 1/2 まで書いて完成。

れんしゅう

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。

あたらしい もんだいを つくる