鈍角の三角比 — 半円で定義しなおす

直角三角形の限界

三角形の角は鈍角（90°より大きい角）のこともある。ところが「直角三角形の辺の比」という定義では、θは90°未満しかありえない——直角三角形にはもう直角がひとつあるから。sin 120° を語りたければ、定義を拡張する必要がある。

数学ではこういうとき、古い定義と矛盾せず、より広く使える定義に乗りかえる。負の数（N8）や指数の拡張と同じ、おなじみの手続きだ。

半径1の半円で定義しなおす

座標平面に、原点Oを中心とする半径1の半円（x軸の上側）を描く。x軸の正の向きから角θだけ回った半径OPを引き、Pの座標を (x, y) とする。

\[\cos\theta = x \qquad \sin\theta = y \qquad \tan\theta = \frac{y}{x}\]

θが鋭角のとき、OPを斜辺とする直角三角形を作ると、斜辺1・隣辺x・対辺y。だから 隣辺/斜辺 ＝ x/1 ＝ x ＝ cos θ——前の定義とぴったり一致する。古い世界はそのまま、新しい世界が開く。

θが鈍角のとき、Pは y 軸の左側に来る。すると——

• x座標は負 → cos θ ＜ 0、tan θ ＜ 0
• y座標は正のまま → sin θ ＞ 0

例1 ：θ ＝ 120°。Pは60°のときの点と y 軸について対称の位置にある。60°の値（cos 60° ＝ 1/2、sin 60° ＝ √3/2）から——

\[\cos 120° = -\frac{1}{2}, \qquad \sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

検算：sin²120° ＋ cos²120° ＝ 3/4 ＋ 1/4 ＝ 1 ✓ 相互関係は新しい定義でも生きている（Pが半径1の円上にあり x² ＋ y² ＝ 1 だから）。

180° − θ の公式

例1の「y 軸について対称」を一般化すると、θ と 180° − θ の点は y 軸対称で、y座標が同じ・x座標が符号だけ反対。つまり——

\[\sin(180° - \theta) = \sin\theta \qquad \cos(180° - \theta) = -\cos\theta\]

例2 ：sin 150° ＝ sin 30° ＝ 1/2、cos 150° ＝ −cos 30° ＝ −√3/2。

例3 ：境界の値も座標から読める。θ ＝ 90° では P(0, 1) だから sin 90° ＝ 1、cos 90° ＝ 0。θ ＝ 180° では P(−1, 0) だから sin 180° ＝ 0、cos 180° ＝ −1。θ ＝ 0° では P(1, 0)。定義がひとつあれば、暗記はいらない。

よくあるまちがい

その1：鈍角なのに cos を正にしてしまう。 cos 120° ＝ 1/2 は誤り。鈍角の点Pは y 軸の左、x座標は負——図を描けばまちがえない。

その2：tan 90° を計算しようとする。 θ ＝ 90° では x ＝ 0。tan θ ＝ y/x は0でわることになるので定義されない（N3のわり算以来のルール！）。

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