たんげんテスト A9-2-3
たんげんテスト：線積分と面積分
この ページで まなぶ こと
- 線積分（仕事）と面積分（流束）をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「積分定理」——A9章のフィナーレへ！
「線積分と面積分」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
F ＝ ∇f、f ＝ xy のとき (0,0)→(3,2) の線積分は？
かいせつ勾配場の線積分は端点だけで決まる：∫∇f・dr ＝ f(3, 2) − f(0, 0) ＝ 3 × 2 − 0 ＝ 6。途中の道は効かない。
Q2
きほん
保存場で閉じた道を一周する線積分は？
かいせつ保存場の線積分は f(終点) − f(始点) で決まる。閉じた道では出発点に戻るから f(P) − f(P) ＝ 0。
Q3
きほん
F ＝ (−y, x) を単位円で一周する線積分は □π。□は？
かいせつr(t) ＝ (cos t, sin t) で dr/dt ＝ (−sin t, cos t)、F ＝ (−sin t, cos t) だから内積は sin²t ＋ cos²t ＝ 1。0 ≦ t ≦ 2π で積んで 2π。
Q4
ふつう
流れ (0, 0, 2) が水平な面積7の板を貫く流束は？
かいせつ水平な板の法線は真上 n ＝ (0, 0, 1) で、F・n ＝ 2 がどこでも一定。Φ ＝ 2 × 7 ＝ 14。
Q5
ふつう
F ＝ (x, y, z) の単位球面での流束は □π。□は？
かいせつ単位球面上では F は外向き法線と同じ向きで F・n ＝ |F| ＝ 1。表面積 4π をかけて Φ ＝ 4π。
Q6
チャレンジ
線積分が経路に依存する場は？
かいせつ経路によらないのは勾配場（保存力）の特権で、定数場も勾配場の一種。rot ≠ 0 の渦のある場では F ＝ (−y, x) の単位円一周 ＝ 2π のように、閉じた道でも 0 にならず経路が効く。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！