たんげんテスト L2-3-3
たんげんテスト：固有値と対角化
この ページで まなぶ こと
- 固有値・固有ベクトル・対角化をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「内積空間」——L2章のフィナーレへ！
「固有値と対角化」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
[[4, 1], [0, 3]] の固有値のうち大きいほうは？
かいせつ上三角行列の固有値は対角成分そのもの：(4 − λ)(3 − λ) ＝ 0 より λ ＝ 4、3。大きいほうは 4 だ。
Q2
きほん
[[2, 1], [1, 2]] の固有値のうち大きいほうは？
かいせつdet(A − λE) ＝ (2 − λ)² − 1 ＝ (λ − 1)(λ − 3) ＝ 0 より λ ＝ 1、3。大きいほうは 3。検算：A(1, 1) ＝ (3, 3) ＝ 3(1, 1)。
Q3
きほん
固有値を求める特性方程式は？
かいせつAv→ ＝ λv→ を変形した (A − λE)v→ ＝ 0→ が0でない解を持つ条件は、A − λE がつぶれること——det(A − λE) ＝ 0。符号は「−λE」で、引くほうが正しい。
Q4
ふつう
A(1, 1) ＝ (5, 5) のとき、(1, 1) に対応する固有値は？
かいせつ(5, 5) ＝ 5×(1, 1) だから Av→ ＝ 5v→ の形——向きそのまま5倍で、固有値は λ ＝ 5。固有値は数（倍率）、固有ベクトルが (1, 1) だ。
Q5
ふつう
D ＝ [[2, 0], [0, 3]] の D³ の (2, 2) 成分は？
かいせつ対角行列のn乗は対角成分をn乗するだけ。(2, 2) 成分は 3³ ＝ 27（(1, 1) 成分なら 2³ ＝ 8）。
Q6
ふつう
Aⁿ の計算に対角化が効く理由は？
かいせつAⁿ ＝ PDⁿP⁻¹ で、Dⁿ は対角成分をn乗するだけ——行列をn回掛ける代わりに数のn乗で済む。Pは消えるのでなく、端に1回ずつ残って翻訳役を務める。
Q7
チャレンジ
虚数の固有値が現れる変換の代表は？
かいせつ回転には向きを変えない実の方向がないから、特性方程式（90°回転なら λ² ＋ 1 ＝ 0）は実数解を持たず λ ＝ ±i——虚数固有値は回転の合図。拡大の固有値は実数の倍率、正射影の固有値は 0 と 1 だ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！