たんげんテスト L2-2-3
たんげんテスト：線形写像
この ページで まなぶ こと
- 線形写像・行列表現・核と像をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「固有値と対角化」——線形代数のクライマックスへ！
「線形写像」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
線形写像が必ずみたすのは？
かいせつf(0) ＝ f(0・0) ＝ 0・f(0) ＝ 0——線形写像は必ず 0 を 0 にうつす。f(0) ＝ 1 になる f(x) ＝ x ＋ 1 型は線形でない即断ポイントで、f(1) の値には決まりがない。
Q2
きほん
f(x, y) ＝ (3x, x ＋ 2y) の表現行列の (2, 2) 成分は？
かいせつ基底の行き先を列に並べる：f(1, 0) ＝ (3, 1) が第1列、f(0, 1) ＝ (0, 2) が第2列。よって (2, 2) 成分は 2——第2成分 x ＋ 2y の y の係数だ。
Q3
きほん
f(1, 0) ＝ (1, 2)、f(0, 1) ＝ (3, 4) のとき f(2, 1) の x成分は？
かいせつ(2, 1) ＝ 2e₁ ＋ e₂ だから、線形性より f(2, 1) ＝ 2f(1, 0) ＋ f(0, 1) ＝ 2(1, 2) ＋ (3, 4) ＝ (5, 8)。x成分は 2×1 ＋ 3 ＝ 5。
Q4
ふつう
f が全射 ⇔ ？
かいせつ全射とは行き先Wの全員に届くこと——届く先の全体 Im f がW全体に一致する、という定義そのものだ。Ker f ＝ {0} は単射の条件、f(0) ＝ 0 はどんな線形写像でも成り立つ。
Q5
ふつう
f : R⁶ → R⁴ で dim Im ＝ 4 のとき dim Ker ＝ ？
かいせつ次元定理 dim Ker ＋ dim Im ＝ dim R⁶ ＝ 6 に dim Im ＝ 4 を代入して、dim Ker ＝ 6 − 4 ＝ 2。
Q6
ふつう
90°回転の核は？
かいせつ回転は長さを変えないから、0につぶれるのは0だけ——Ker ＝ {0} で単射。x軸がつぶれるのは正射影 f(x, y) ＝ (0, y) のような写像の話だ。
Q7
チャレンジ
dim Ker ＋ dim Im ＝ dim V——この定理の名前は？
かいせつもとの空間の軸が「つぶれる軸」と「生き残る軸」にきっちり分配される——この次元の保存則が次元定理だ。中間値の定理は連続関数（解析）の定理で、線形写像の話ではない。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！