たんげんテスト L2-1-3
たんげんテスト：ベクトル空間
この ページで まなぶ こと
- 公理・部分空間・基底・次元をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「線形写像」へ！
「ベクトル空間」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
ベクトル空間の2演算は？
かいせつベクトル空間の公理に登場する演算は和とスカラー倍の2つだけ。内積は後から追加される装置（内積空間）で、積・累乗・行列式は公理には現れない。
Q2
きほん
部分空間の判定で最初に見るのは？
かいせつ判定3点セット「0を含む・和で閉じる・倍で閉じる」の筆頭が0のチェック。原点を通らない平面のような集合は、ここで即アウトになる。
Q3
きほん
(2, 3) と (4, 6) は？
かいせつ(4, 6) ＝ 2×(2, 3) と一方が他方の実数倍だから一次従属。det [[2, 3], [4, 6]] ＝ 12 − 12 ＝ 0 でも確認できる。内積は 2×4 ＋ 3×6 ＝ 26 ≠ 0 なので直交ではない。
Q4
ふつう
dim R⁵ ＝ ？
かいせつR⁵ の基底は (1, 0, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0, 0)、… の5本。基底の本数が次元だから dim R⁵ ＝ 5。
Q5
ふつう
3次以下の多項式空間の次元は？
かいせつ基底は {1, x, x², x³} の4本だから次元は 4。「3次以下」でも定数項から3次まで係数は4個あることに注意。
Q6
ふつう
基底の条件は？
かいせつ基底は「全員を一次結合で作れる（生成）」かつ「一次独立（無駄がない）」の両方をみたす組。本数が多くても従属なら基底でないし、直交は内積空間での追加の性質で基底の条件ではない。
Q7
チャレンジ
「どの基底も本数が同じ」——この本数の名前は？
かいせつどの基底を選んでも本数は同じ——この共通の本数が次元 dim V だ。濃度は集合の要素の個数を比べる言葉、ランクは行列の実質的な情報量の言葉で、どちらも基底の本数の名前ではない。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！